Question

1．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O₁在X轴上，OO₁距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B₁．虚线MN，平行X轴且与半圆相切于P点．在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿X轴负向，磁场磁感应强度大小为B₂．B₁，B₂方向均垂直纸面，方向如图所示．有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q （粒子重力不计）．求：
（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径．
（2）若撤去磁场B₂，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标．
（3）试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动．

Answer 1

分析 （1）在MN上方，粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，根据平衡条件列式求解速度；
粒子从O到P过程，做匀速圆周运动，圆心在OP连线的角平分线上；初速度沿x轴正方向，洛伦兹力指向圆心，提供向心力，结合左手定则可知，圆心一定在y轴上，故M点为轨迹圆的圆心；
（2）若撤去磁场B₂，则经过P点射入电场的粒子做类似平抛运动，平行y轴方向做匀速直线运动，平行x轴方向做匀加速直线运动，根据运动学公式列式求解即可；
（3）作出粒子运动轨迹，根据粒子受力情况分析证明．

解答 解：（1）在MN上方，粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，故qv₀B₂=Eq，则：v₀=$\frac{E}{{B}_{2}}$，
由题意知粒子在磁场B₁中圆周运动半径与该磁场半径相同，
由牛顿第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mE}{q{B}_{1}{B}_{2}}$；
（2）在电场中粒子做类平抛运动：
x=R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，y=v₀t，
解得：y=$\frac{mE}{q{B}_{2}}$$\sqrt{\frac{2}{{B}_{1}{B}_{2}}}$，
则：y′=y+R=$\frac{mE}{q{B}_{2}}$（$\frac{1}{{B}_{1}}$+$\sqrt{\frac{2}{{B}_{1}{B}_{2}}}$）；
（3）证明：设从O点入射的任一粒子进入B₁磁场时，速度方向与x轴成θ角，粒子出B₁磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，

找出轨迹圆心，可以看出四边形OO₁O₂Q四条边等长是平行四边形，所以半径O₂Q与OO₁平行．
所以从Q点出磁场速度与O₂Q垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入MN边界．
进入正交电磁场E、B₂中都有：qv₀B₂=Eq，故做直线运动．
答：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径为$\frac{mE}{q{B}_{1}{B}_{2}}$．
（2）若撤去磁场B₂，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标为（0，$\frac{mE}{q{B}_{2}}$（$\frac{1}{{B}_{1}}$+$\sqrt{\frac{2}{{B}_{1}{B}_{2}}}$）．
（3）证明过程如上所述．

点评 本题关键明确粒子的运动规律，然后平衡条件和牛顿第二定律列式分析求解；对于第三问，关键明确题中所有从原点射入第Ⅰ象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动，离开B₁磁场时速度全部平行．