Question

2．如图1所示，一对相互平行且足够长的光滑金属轨道固定放置在水平面上，两轨道间距离l=0.2m．两轨道的左端接有一个R=0.1Ω的电阻．有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向下．现用一外力F沿轨道方向拉杆，使杆做匀加速直线运动，测得力F与时间t的关系如图2所示．求：

（1）类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由v-t图象求位移的方法．请你借鉴此方法，根据图2所示的F-t图象，求0-20s的时间内拉力F的冲量大小I；
（2）求导体棒的加速度大小a和质量m；
（3）求0-20s的时间内通过导体横截面的电量q．

Answer 1

分析 （1）根据类比法可明确F-t图象中图象的面积可以表示力的冲量；
（2）导体棒运动时切割磁感线产生感应电流，使棒受到向左的安培力，根据感应电流的大小写出安培力的表达式，结合牛顿第二定律求出F与t的关系式，然后将图象上的数据代入即可求解m和a的大小．
（3）根据运动学位移时间公式、法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电荷量公式，推导出通过电阻R电量的表达式．

解答 解：（1）类比可知，拉力F的冲量大小等于时间t内F-t图线下所围的面积
 0-20s内F的冲量 I=$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}t$=$\frac{1+3}{2}×20$=40Ns；
以金属杆为研究对象，导体杆在轨道上做匀加速直线运动，用v表示其速度，t表示时间，则有：
v=at…①
杆切割磁感线，产生的感应电动势为：
E=Blv…②
在杆、轨道和电阻的闭合回路中产生感应电流为：
$I=\frac{E}{R}=\frac{Blv}{R}$…③
杆受到的安培力为：
F_A=BIl…④
根据牛顿第二定律，有：
F-F_A=ma…⑤
联立以上各式，得：
$F=ma+\frac{{{B^2}{l^2}}}{R}at$…⑥
由图线上取两点坐标（0，0.1N）和（10s，0.2N）代入⑥式，
解得：a=1m/s²，m=0.1kg
（2）从静止开始运动的t时间内杆的位移为：$x=\frac{1}{2}a{t^2}$
穿过回路的磁通量的变化：△Φ=B△S=Blx
所以通过电阻R的电量为：$q=\bar It=\frac{\bar E}{R}t=\frac{△ϕ}{R}=\frac{{Bal{t^2}}}{2R}$
或：$△q=I△t=\frac{Blv}{R}△t=\frac{Bl}{R}△x$
得：$q=Σ△q=\frac{Bl}{R}Σ△x=\frac{{Bal{t^2}}}{2R}$
解得：q=200C
答：（1）0-20s的时间内拉力F的冲量大小I为40Ns；
（2）杆的质量m为0.1kg，加速度a的大小为1m/s²．
（3）杆开始运动后的时间t内，通过电阻R电量的表达式为200C．

点评 解答这类问题的关键是正确分析安培力的大小与方向，再图象读取有效信息，根据导体棒所处状态列方程求解．感应电荷量表达式q=$\frac{△Φ}{R}$是常用的经验公式，要能熟练推导．