Question

4．如图所示，一竖直平面内的光滑圆弧轨道ABC，B点为最低点，O为圆心，轨道半径R=0.3m，OA连线与OB夹角θ=60°．现有一个质量m=0.6kg的小球（可视为质点）以某一初速度从P点水平抛出，恰好从圆弧轨道的A点沿切线方向进入（不计空气阻力），小球到达A点时的速度v=4m/s（取g=10m/s²，结果可保留根号），求：
（1）小球做平抛运动的初速度v₀的大小；
（2）P点与A点的水平距离和竖直高度；
（3）小球到达圆弧最高点C时对轨道的作用力．

Answer 1

分析 （1）小球从P到A做平抛运动，小球恰好从光滑圆弧轨道的A点的切线方向进入圆弧，说明小球到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，根据速度的分解法可以求出初速度v₀；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出P点与A点的水平距离和竖直距离；
（3）研究A到C的过程，由动能定理求出小球经过C点的速度，在C点，由向心力公式可求得支持力大小，从而得到小球对轨道的压力大小．

解答 解：（1）由平抛运动的特点，小球在水平方向上做匀速直线运动，在A点，小球速度的偏转角为θ=60°，即：
$\frac{v_0}{v}=cos60°$
解得：v₀=2m/s
（2）由平抛运动的特点，小球在竖直方向上做自由落体运动，则有：
${v_y}=vsin60°=4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}m/s$
v_y=gt
则有：$t=\frac{{\sqrt{3}}}{5}s$
所以，P点与A点的竖直高度为：$h=\frac{v_y^2}{2g}=\frac{12}{20}=0.6m$
水平距离为：$x={v_0}t=2×\frac{{\sqrt{3}}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{3}m$≈0.69m
（3）小球从A到B再到C的过程，由动能定理得：
$-mg（R+Rcos60°）=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_A^2$
解得：${v_C}=\sqrt{7}m/s$
在C点，由牛顿第二定律得：
${F_N}+mg=m\frac{v_C^2}{R}$
解得：F_N=8N
由牛顿第三定律得，小球对轨道的作用力为：${F_N}^′={F_N}=8N$，方向竖直向上
答：（1）小球做平抛运动的初速度为2m/s；
（2）P点与A点的水平距离为0.69m，竖直高度为0.6m；
（3）小球到达圆弧最高点C时，对轨道的压力为8N，方向竖直向上．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．当然也可以根据机械能守恒定律求C点的速度．