Question

9．如图（甲）所示，一正方形单匝线框abcd放在光滑绝缘水平面上，线框边长为L，质量为m，电阻为R．该处空间存在一方向竖直向下的匀强磁场，其右边界MN平行于ab，磁感应强度B随时间t变化的规律如图（乙）所示，求：
（1）若线框保持静止，求在t₀时间内线框产生的感应电流I；
（2）若线框从零时刻起，在一水平拉力作用下由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，经过时间t₀线框cd边刚要离开边界MN．求在此过程中拉力所做的功；
（3）在（2）的情形下，为使线框在离开磁场的过程中，仍以加速度a做匀加速直线运动，试求线框在离开磁场的过程中水平拉力F随时间t的变化关系．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势，结合欧姆定律，即可求解感应电流I；
（2）根据运动学公式，结合动能定理，即可求解拉力做的功；
（3）根据运动学公式，结合感应电流表达式，及牛顿第二定律，即可求解．

解答 解：（1）线框中产生的感应电动势：$E=\frac{△φ}{△t}=\frac{△B}{△t}•S=\frac{{{B_0}{L^2}}}{t_0}$
线框中产生的感应电流：$I=\frac{E}{R}=\frac{{{B_0}{L^2}}}{{R{t_0}}}$
（2）t₀时刻线框的速度：v₀=at₀
在此过程中，安培力为0，拉力即为合外力，所以拉力做的功：$W=\frac{1}{2}m{v_0}^2=\frac{1}{2}m{a^2}t_0^2$
（3）设线框离开磁场过程的时间为t'，则有：$L={v_0}t'+\frac{1}{2}at{'^2}$
解得：$t'=\frac{{-{v_0}+\sqrt{v_0^2+2aL}}}{a}=\sqrt{t_0^2+\frac{2L}{a}}-{t_0}$（另一解不合符题意，舍去）
线框在离开磁场的过程中运动的速度：v=at
产生的感应电流：$I=\frac{{{B_0}Lv}}{R}$
由牛顿第二定律得：F-B₀IL=ma
解得：$F=\frac{{B_0^2{L^2}a}}{R}•t+ma$（${t_0}≤t≤\sqrt{t_0^2+\frac{2L}{a}}$）
答：（1）在t₀时间内线框产生的感应电流I是$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R{t}_{0}}$；
（2）在此过程中拉力所做的功是$\frac{1}{2}m{a}^{2}{t}_{0}^{2}$；
（3）线框在离开磁场的过程中水平拉力F随时间t的变化关系是：$F=\frac{{B_0^2{L^2}a}}{R}•t+ma$（${t_0}≤t≤\sqrt{t_0^2+\frac{2L}{a}}$）．

点评 考查法拉第电磁感应定律与焦耳定律，及牛顿第二定律的应用，注意数学公式求解时，时间不能为负值．