Question

4．如图，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l；水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R=0.4m，l=2.5m，v₀=6m/s，物块质量m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其他部分摩擦不计．取g=10m/s²．求：

（1）物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力；
（2）物块从Q运动到P的时间及弹簧获得的最大弹性势能；
（3）调节仍以v₀从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

Answer 1

分析 （1）对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程，根据动能定理列式求解最高点的速度；在圆弧轨道的最高点，重力和弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解弹力；
（2）只有在PQ阶段有机械能损失，对从Q到P过程，根据牛顿第二定律求解加速度，根据位移公式求解时间，根据速度公式求解末速度；从P点到最左端过程，弹簧获得的最大弹性势能等于在P位置的动能；
（3）先根据牛顿第二定律求解物体恰能经过圆弧最高点的速度，然后对运动的全程根据动能定理列式求解l的距离．

解答 解：（1）对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程，根据动能定理，有：
-mg（2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在圆弧轨道的最高点，根据牛顿第二定律，有：
mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：
${v}_{1}=2\sqrt{5}m/s$ 
N=40N
根据牛顿第三定律，物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N；
（2）从Q到P过程，滑块的加速度为：a=-μg=-4m/s²；
根据位移公式，有：x=${v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，代入数据解得：
t=0.5s或t=2.5s（不可能速度减小为零后反向加速，故舍去）
在P点的速度为：v₂=v₀+at=6-4×0.5=4m/s
故最大弹性势能为：${E}_{pm}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}×1×{4}^{2}=8J$
（3）物块恰能不脱离轨道返回A点，在圆轨道最高点的速度为：
${v}_{3}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}=2m/s$
对从开始到第二次到圆轨道的最高点过程，根据动能定理，有：
-mg（2R）-μmg•2l=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：
2l=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}_{3}^{2}}{2μg}$-$\frac{2R}{μ}$=$\frac{{6}^{2}-{2}^{2}}{2×0.4×10}-\frac{2×0.4}{0.4×10}$×10=2m
故l=1m
答：（1）物块经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N；
（2）物块从Q运动到P的时间为1s，弹簧获得的最大弹性势能为8J；
（3）调节仍以v₀从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是1m时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

点评 本题综合考查了运动学公式、向心力公式、动能定理、牛顿第二定律，以及知道小球不脱离圆轨道的条件，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．