Question

7．如图所示，足够长的平行金属导轨MN、M′N′，处于方向水平向左、磁感应强度B₁=$\frac{5}{6}$T的匀强磁场中，两导轨间的距离L=1m．导轨右端N、N′连接着与水平面成θ=30°的足够长光滑平行导轨N0、N′O′，NN′垂直于MN，倾斜导轨处于方向垂直于导轨向上、磁感应强度B₂=1T的匀强磁场中．两根金属杆P、Q的质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，杆与水平导轨间的动摩擦因数为μ=0.4，现将P杆放置于NN处并给其平行于水平导轨向左v=5m/s的初速度，与此同时，使Q杆在一平行导轨向下的外力F的作用下，从静止开始做加速度为a=6m/s²的匀加速运动．Q杆距离NN′足够远，Q杆一直在斜轨上运动，不考虑感应电流产生磁场的影响，导轨电阻不计，g取10m/s²．
（1）求Q杆下滑过程中，外力F与时间t的函数关系；
（2）求P杆停止时Q杆已运动的位移s；
（3）已知P杆进入水平轨道直到停止的过程中，外力F对Q杆所做的功为15J，求这一过程中系统产生的总热量Q_总．

Answer 1

分析 （1）Q杆下滑时做匀加速运动，根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系列式，可求出F与t的关系式．
（2）Q杆在斜轨道上滑行的过程中，P杆在水平面上做减速运动，合力等于滑动摩擦力，求出滑动摩擦力，得到其加速度与时间的关系，画出加速度与时间的关系图象，a-t图象与时间轴所围的面积表示速度的变化量，根据速度的变化量大小得到P杆停止时所用时间，从而求出Q杆运动的位移s．
（3）对于P杆，求出克服摩擦力做功，从而得到摩擦生热．对于Q杆，根据能量守恒定律求出热量，从而得到总热量Q_总．

解答 解：（1）Q杆下滑时做匀加速运动，t时刻所受的安培力大小
  F_安=B₂IL=B₂$\frac{{B}_{2}Lat}{2R}$L=$\frac{{B}_{2}^{2}{L}^{2}at}{2R}$
由牛顿第二定律得：
  F+mgsin30°-F_安=ma
联立代入数据解得：F=（6t+1）N；
（2）P杆在斜轨道滑行中，M杆在水平面上做减速运动，
  f=μN=μ（mg+B₁•$\frac{{B}_{2}Lat}{2R}$L）=ma_P，
代入数据解得：a_P=4+2t，
P杆作加速度逐渐增大的减速运动，作出P杆加速度与时间的图象，如图所示：可知图中围成的面积是P杆速度的变化量，当P杆停止时，速度的改变量大小为△v_P=5m/s．
设P杆经过时间t恰好停止运动，则有：
 $\frac{1}{2}$（4+4+2t）×t=△v_P，
代入数据解得：t=1s
Q杆在这一秒内运动的位移为：s=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×6×1²=3m，
（3）对于P杆克服摩擦力所做的功：-W_克f=0-$\frac{1}{2}$mv²，
代入数据解得：W_克f=12.5J，
即P杆和水平轨道由于摩擦产生的热量为 Q_P=W_克f=12.5J
对于Q杆，根据动能定理得：W_外+W_克安+（mgsinθ）s=$\frac{1}{2}$mv_Q²，速度：v_Q=at，
代入数据解得：W_克安=12J，
所以两金属棒共同产生的焦耳热 Q_焦=W_克安=12J
故总热量 Q_总=Q_P+Q_焦=12.5J+12J=24.5J
答：（1）在Q杆下滑过程中，外力F与时间t的函数关系是F=（6t+1）N；
（2）P杆停止时Q杆已运动的位移s是3m；
（3）这一过程中系统产生的总热量Q_总是24.5J．

点评 本题是复杂的电磁感应问题，离不开力和运动关系的分析、功和能关系的分析．对于热量，若回路中电流是变化的，往往根据能量守恒定律求解．