Question

2．如图所示，光滑斜面AB与光滑竖直圆弧轨道BCD在B点平滑连接，质量为m的小物块从斜面上A点由静止释放并滑下，经圆弧轨道最低点C后能沿轨道通过最高点D，此时对D点的压力恰好等于其重力．重力加速度为g，不计空气阻力．求：
（1）物块运动到最低点C时对轨道的压力大小；
（2）A、C的高度差h与圆弧轨道半径R的比值．

Answer 1

分析 （1）在C点时，对物体受力分析，重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛顿第三定律可以知道对轨道压力的大小；
（2）由向心力的公式可以求得在D点的速度大小，从A到D的过程中，物体的机械能守恒，从而可以求得小球释放时离最低点的高度h，得高度差h与圆弧轨道半径R的比值．

解答 解：（1）C点受力分析知：${F_{NC}}-mg=\frac{mv_c^2}{R}$
    D点受力分析知：${F_{ND}}+mg=\frac{mv_D^2}{R}$
C到D根据动能定理知：$\frac{1}{2}mv_c^2+0=\frac{1}{2}mv_D^2+mg×2R$
并且有F_NC-F_ND=6mg
联立上式并根据牛顿第三定律知$F_{NC}^'={F_{NC}}=7mg$
（2）由A到C，根据动能定理知：$0+mgh=\frac{1}{2}mv_C^2+0$
在C点：${F_{NC}}-mg=\frac{mv_c^2}{R}$
联立得$\frac{h}{R}=3$
答：（1）物块运动到最低点C时对轨道的压力大小为7mg；
（2）A、C的高度差h与圆弧轨道半径R的比值为3．

点评 此题考查圆周运动和动能定理，注意分析清楚各部分的运动特点，恰当选取运动过程和位置进行分析，然后采用相应的规律求解即可．