Question

3．如图甲所示，在边界MN左侧存在与竖直方向成37°的匀强电场E₁=0.5N/C，在MN的右侧有竖直向上的匀强电场E₂，还有垂直纸面向内的匀强磁场B（图甲中未画出）和水平向右的匀强电场E₃（图甲中未画出），B和E₃随时间变化的情况如图乙所示，P₁P₂为距MN边界2.295m的竖直墙壁，现有一带正电微粒质量为4×10^-7kg，电量为1×10^-5C，从左侧电场中距MN边界L处的A处无初速释放后，沿直线以1m/s速度垂直MN边界进入右侧场区，设此时刻t=0，取g=10m/s²．求：
（1）A点距MN边界的距离L多大（sin37°=0.6）；
（2）进入右侧场区1s内带电微粒仍垂直MN边界运动，则E₂多大；
（3）在（2）问的条件下，带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度；
（4）在（2）问的条件下，带电微粒在MN右侧场区中运动多长时间与墙壁碰撞？（$\frac{1.2}{2π}$≈0.19）

Answer 1

分析 （1）微粒从A处无初速释放后，沿直线垂直MN边界进入右侧场区，可知合力的方向与MN垂直，抓住竖直方向上平衡，水平方向上产生加速度，结合速度位移公式求出A点距离MN边界的距离．
（2）进入右侧场区1s内带电微粒仍垂直MN边界运动，可知微粒所受的重力和竖直方向上的电场力平衡，结合平衡求出电场强度E₂的大小．
（3）粒子在前1s内做匀加速最小运动，根据牛顿第二定律和速度时间公式求出1s末的速度，1s-1.5s内，带电粒子在复合场中做匀速圆周运动，根据带电粒了在磁场中的运动规律明确转动时间，则可确定其速度方向；
（4）根据带电粒子在右侧混合场中的运动情况，明确粒子何时才能与墙壁相碰撞．

解答 解：（1）设MN左侧匀强电场场强为E₁，方向与水平方向夹角为θ，
沿水平方向有　 　qE₁cosθ=ma                                      
沿竖直方向有　 　qE₁sinθ=mg                                    
对水平方向的匀加速运动有：v²=2aL                          
代入数据可解得L=$\frac{1}{15}$m．                                   
（2）由于带电微粒进入右侧场区后仍垂直MN运动，有qE₂=mg                
代入数据可解得    E₂=0.4N/C                            
（3）带电微粒在MN右侧场区始终满足　qE₂=mg
在0～1s时间内，带电微粒在E₃电场中  a=$\frac{q{E}_{3}}{m}=\frac{1×1{0}^{-5}×0.004}{4×1{0}^{-7}}m/{s}^{2}=0.1m/{s}^{2}$．
带电微粒在1s时的速度大小为　 v₁=v+at=1+0.1×1=1.1m/s，
在1～1.5s时间内，带电微粒在磁场B中运动，周期T=$\frac{2πm}{qB}=\frac{2π×4×1{0}^{-7}}{1×1{0}^{-5}×0.08π}=1s$，
在1～1.5s时间内，带电微粒在磁场B中正好作半个圆周运动．所以带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度大小为1.1m/s，方向水平向左．
（4）在0s～1s时间内带电微粒前进距离　s₁=vt+$\frac{1}{2}$at²=1×1+$\frac{1}{2}$×0.1×1²=1.05m．
带电微粒在磁场B中作圆周运动的半径r=$\frac{mv}{qB}=\frac{4×1{0}^{-7}×1.1}{1×1{0}^{-5}×0.08π}$=$\frac{1.1}{2π}m$．
因为r+s₁＜2.28m，所以在1s～2s时间内带电微粒未碰及墙壁．
在2s～3s时间内带电微粒作匀加速运动，加速度仍为　a=0.1m/s²，
在3s内带电微粒共前进距离
s₃=$v{t}_{3}+\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}=1×2+\frac{1}{2}×0.1×{2}^{2}$m=2.2m．
在3s时带电微粒的速度大小为v₃=v+at₃=1+0.1×2m/s=1.2m/s．
在3s～4s时间内带电微粒在磁场B中作圆周运动的半径${r}_{3}=\frac{m{v}_{3}}{qB}=\frac{4×1{0}^{-7}×1.2}{1×1{0}^{-5}×0.08π}=\frac{1.2}{2π}$=0.19m，
因为r₃+s₃＞2.295m，所以在4s时间内带电微粒碰及墙壁
带电微粒在3s以后运动情况如右图，其中 d=2.295-2.2=0.095m，
sinθ=$\frac{d}{{r}_{3}}=0.5$，θ=30°                
所以，带电微粒作圆周运动的时间为${t}_{3}=\frac{{T}_{3}}{12}=\frac{2πm}{12qB}=\frac{2π×4×1{0}^{-7}}{12×1×1{0}^{-5}×0.08π}$=$\frac{1}{12}$s．
带电微粒与墙壁碰撞的时间为　t_总=3+$\frac{1}{12}$=$\frac{37}{12}$s．
答：（1）A点距MN边界的距离L为$\frac{1}{15}m$；
（2）进入右侧场区1s内带电微粒仍垂直MN边界运动，则E₂为0.4N/C；
（3）带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度为1.1m/s，方向水平向左；
（4）带电微粒在MN右侧场区中运动$\frac{37}{12}$s与墙壁碰撞．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，要注意能正确分析带电物体的运动情况及运动情况，结合带电粒子在电场和磁场中的运动规律灵活选择物理规律求解．