Question

9．如图所示，为一磁约束装置的原理图，同心圆内存在有垂直圆平面的匀强磁场，同心圆圆心O与xOy平面坐标系原点重合．半径为R₀的圆形区域Ⅰ内有方向垂直xOy平面向里的匀强磁场B₁．一束质量为m、电荷量为q、动能为E₀的带正电粒子从坐标为（0、R₀）的A点沿y轴负方向射入磁场区域Ⅰ，粒子全部经过x轴上的P点，方向沿x轴正方向．当在环形区域Ⅱ加上方向垂直于xOy平面的匀强磁场B₂时，上述粒子仍从A点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，粒子恰好能够约束在环形区域内，且经过环形区域Ⅱ后能够从Q点沿半径方向射入区域Ⅰ，已知OQ与x轴正方向成60°．不计重力和粒子间的相互作用．求：
（1）区域Ⅰ中磁感应强度B₁的大小；
（2）环形区域Ⅱ中B₂的大小、方向及环形外圆半径R的大小；
（3）粒子从A点沿y轴负方向射入后至第一次到Q点的运动时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，根据几何关系求半径，根据牛顿第二定律及动能定义式联立列式
（2）画出粒子在区域Ⅱ中的轨迹，根据几何关系求半径，根据牛顿第二定律求${B}_{2}^{\;}$，由左手定则求磁场方向
（3）求出轨迹所对的圆心角，根据$t=\frac{θ}{360}T$求出时间

解答 解：（1）设在区域Ⅰ内轨迹圆半径为r₁，
则  r₁=R₀
根据牛顿第二定律：$qv{B_1}=m\frac{v^2}{r_1}$
动能的定义：${E}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
${B}_{1}^{\;}=\frac{\sqrt{2m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$
（2）设粒子在区域Ⅱ中的轨迹圆半径为${r}_{2}^{\;}$，部分轨迹如图，有几何关系知     
${r}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{3}{r}_{1}^{\;}$  
根据牛顿第二定律：$qv{B_2}=m\frac{v^2}{r_2}$
${B}_{2}^{\;}$=$\frac{\sqrt{6m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$
方向与${B}_{1}^{\;}$相反，即垂直xOy平面向外   
由几何关系得$R=\frac{r_2}{sin30°}+{r_2}=3{r_2}$，
即$R=\sqrt{3}{R}_{0}^{\;}$
（3）由题意可知    $t=（\frac{1}{4}{T_1}+\frac{2}{3}{T_2}）$
 ${T}_{1}^{\;}=\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}$，${T}_{2}^{\;}=\frac{2πm}{q{B}_{2}^{\;}}$
代入数据得$t=（\frac{{2\sqrt{6}}}{9}+\frac{{\sqrt{2}}}{4}）•\frac{{π{R_0}\sqrt{m{E_0}}}}{E_0}$
答：（1）区域Ⅰ中磁感应强度B₁的大小$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$；
（2）环形区域Ⅱ中B₂的大小$\frac{\sqrt{6m{E}_{0}^{\;}}}{q{R}_{0}^{\;}}$、方向与${B}_{1}^{\;}$相反，即垂直xoy平面向外，及环形外圆半径R的大小$\sqrt{3}{R}_{0}^{\;}$；
（3）粒子从A点沿y轴负方向射入后至第一次到Q点的运动时间$（\frac{2\sqrt{6}}{9}+\frac{\sqrt{2}}{4}）•\frac{π{R}_{0}^{\;}\sqrt{m{E}_{0}^{\;}}}{{E}_{0}^{\;}}$．

点评 该题考查带电粒子在磁场中的运动，解决本题的关键掌握带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动时，如何确定圆心、半径．