题目内容

8．水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，

（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量
（2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求棒通过的位移
（3）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图所示．求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外辐射的能量）

分析 （1）由动量定理和Q=It求解通过电阻的电荷量，由能量守恒定律求产生的热量；
（2）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由电流的定义式求出电荷量，然后求出金属棒的位移．
（3）由电容的定义式和动量定理联立求解．

解答 解：（1）最终杆ab将静止，对杆，由动量定理得：
-$\overline{F}$t=0-mv0，即：-B$\overline{I}$L•t=0-mv0，
电荷量：q=It，解得：q=$\frac{m{v}_{0}}{BL}$；
由能量守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mv02；
（2）感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{B•△S}{△t}$=$\frac{BLs}{△t}$，
平均感应电流：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLs}{R△t}$，
通过电阻的电荷量：q=I△t=$\frac{BLs}{R}$，
金属棒通过的位移：s=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这时电容器C将被充电，
ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，
电容两端电压等于电动势即：E=BLv=UC ①
电容器两端电压：UC=$\frac{{Q}_{C}}{C}$ ②
对导体棒ab，由动量定理可得：
-BLQc=mv-mv0 …③
由①②③式联立可求得：v=$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，
电容器的电荷量：QC=CBLv=$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，
由能量守恒定律得，电容器储存的能量：EC=$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$mv2=$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$m（$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$）2；
答：（1）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中，通过电阻R的电量为$\frac{m{v}_{0}}{BL}$，
电阻R中产生的热量为 $\frac{1}{2}$mv02；
（2）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中求金属棒通过的位移为$\frac{m{v}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量为$\frac{CBLm{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$，电容器所储存的能量$\frac{1}{2}$mv02-$\frac{1}{2}$m（$\frac{m{v}_{0}}{m+{B}^{2}{L}^{2}C}$）2．

点评 此题考查动量定理和能量守恒在电磁学中的应用，注意电路分析及E=BLv和C=$\frac{Q}{U}$ 的应用，难度相对比较大些．

练习册系列答案
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