Question

7．一只狐狸以不变的速度v₁沿直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v₂追击，其运动方向始终对准狐理．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，求：
（1）此时猎犬加速度的大小，
（2）猎犬追上狐狸需要多长时间？

Answer 1

分析 （1）猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度a=$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，r为猎犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于v₂大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了；
（2）根据速度的合成与分解，结合数学知识求时间．

解答 解：（1）猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变．在所求时刻开始的一段很短的时间内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，
则加速度a=$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
其方向与速度方向垂直，如图所示．在极短时间△t内，设狐狸与猎犬分别到达F′与D′，
猎犬的速度方向转过的角度为：θ=$\frac{{v}_{2}t}{R}$，tanα=$\frac{{v}_{1}t}{L}$，
由于时间极短，α角很小，则有：tanα≈α，且α≈θ
则得：$\frac{{v}_{2}t}{R}$=$\frac{{v}_{1}t}{L}$解得：R=$\frac{L{v}_{2}}{{v}_{1}}$
所以猎犬的加速度大小为a=$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$=$\frac{{v}_{2}^{2}}{\frac{L{v}_{2}}{{v}_{1}}}$=$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{L}$
（2）如上图所示：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=sinθ
t=$\frac{L}{cosθ}$，cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$
解得：t=$\frac{L}{{v}_{2}\sqrt{1-\frac{{v}_{1}^{2}}{{v}_{2}^{2}}}}$=$\frac{L}{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}$．
答：（1）此时猎犬的加速度的大小$\frac{{v}_{1}{v}_{2}}{L}$；
（2）猎犬追上狐狸需要的时间为$\frac{L}{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}$．

点评 本题采用微元法研究猎犬的加速度．要知道当α很小时常取sinα=tanα=α，这在微元法解题中是常运用的等式．