Question

11．一行星与地球运动情况相似，此行星的平均密度为ρ，若弹簧秤在其赤道上比两极处测同一物体的重力时读数小了10%，则行星的一昼夜为多少小时？

Answer 1

分析 设此行星上一昼夜的时间是t，故其自转周期为t；在行星的赤道处用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小10%，对赤道物体物体受到的万有引力和重力的合力提供向心力列式，两极位置根据重力等于万有引力列式；最后联立求解．

解答 解：设行星上一昼夜的时间是T，即行星的自转周期T；
弹簧称在赤道和两极的读数分别为F₁、F₂
在赤道上，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F₁=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
在两极上，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F₂=0
又F₂-F₁=10% F₂
则m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=10%G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：$\frac{M}{{R}^{3}}$=$\frac{40{π}^{2}}{G{T}^{2}}$①
而ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3M}{4π{R}^{3}}$②
①②联立解得T=$\sqrt{\frac{30π}{Gρ}}$
答：则行星的一昼夜为T=$\sqrt{\frac{30π}{Gρ}}$．

点评 本题关键明确物体的运动规律，然后结合万有引力定律提供向心力列式后联立求解．