Question

6．如图，直角坐标系xOy中，A、C分别为x、y轴上的两点，OC长为L，∠OAC=30°，△OAC区域内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，区域外无磁场，有大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴方向从OA边各处持续不断射入磁场，已知能从AC边垂直射出的粒子在磁场中的运动时间为t，不考虑粒子间的相互作用且粒子重力不计．
（1）求磁场磁感应强度B的大小；
（2）有些粒子的运动轨迹会与AC边相切，求相切轨迹的最大半径r_m及其对应的入射速度v_m；
（3）若粒子入射速度相同，有些粒子能在边界AC上相遇，求相遇的粒子入射时间差的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题设条件，已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中的时间为t，显然，其偏转角为90°，根据周期公式就能求出磁感应强度大小．
（2）显然与AC相切的最大半径是从O点出发的粒子，画出其运动轨迹，由几何关系求出半径，由洛仑兹力提供向心力从而求出最大速度．
（3）由于入射速度相同，则半径一样，能在AC边相遇的情形有多种，两圆弧对应的圆心角之差△θ最大时，两粒子入射的时间差最大．由分析知道：当两个粒子轨迹圆心与AC上相遇点构成等边三角形时，两个粒子相遇的时间差最大．

解答 解：（1）恰恰好垂直于AC边射出磁场的轨迹如图，根据几何知识得，在磁场
  中的轨迹对应的圆心角θ=30°，在磁场中的运动时间：
   t=$\frac{θ}{360°}T$  
  又T=$\frac{2πm}{qB}$
  得到：B=$\frac{πm}{6qt}$
（2）从O点入射的粒子精悍AC边相切时半径最大，根据几何关系得：
   r_m+$\frac{{r}_{m}}{sin30°}=\frac{L}{tan30°}$
  根据牛顿第二定律得：$q{v}_{m}B=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{r}_{m}}$
  所以r_m=$\frac{\sqrt{3}L}{3}$
       v_m=$\frac{\sqrt{3}πL}{18t}$
（3）由于入射速度相同，则半径一样，能在AC边相遇的情形有多种，两
   圆弧对应的圆心角之差△θ最大时，两粒子入射的时间差最大．如图甲，
△O₁BO₂为等腰三角形，由几何关系得：
△θ=θ₁-θ₂=∠O₁BO₂
  又θ₁+θ₂=180°
  得△θ=2θ₁-180°
  可见：θ₁最大时，△θ最大．
  而当B为切点时，θ₁最大（如图乙），△O₁BO₂为等边三角形，由几何关系得：
△θ=60°
  则$△{t}_{max}=\frac{△θ}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{q×\frac{πm}{6qt}}=2t$
答：（1）磁场磁感应强度B的大小为$\frac{πm}{6qt}$．
（2）有些粒子的运动轨迹会与AC边相切，相切轨迹的最大半径r_m及其对应的入射速度v_m为$\frac{\sqrt{3}πL}{18t}$．
（3）若粒子入射速度相同，有些粒子能在边界AC上相遇，相遇的粒子入射时间差的最大值为2t．

点评 该题是纯粹的带电粒子在磁场中以相同的方向进入三角形区域做匀速圆周运动的特例，其不同之处在于第三问的相遇问题且求相遇的最大时间差，要找到此种情况的情形，画出两个粒子的轨迹图，由周期公式能求出最大时间差．