Question

2．如图所示，如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ₁，金星转过的角度为θ₂（θ₁、θ₂均为锐角），则由此条件可求得（　　）

• A． 水星和金星绕太阳运动的周期之比
• B． 水星和金星的密度之比
• C． 水星和金星到太阳的距离之比
• D． 水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比

Answer 1

分析 根据相同时间内转过的角度之比求出角速度之比，从而得出周期之比，根据万有引力提供向心力得出轨道半径和周期的关系，结合周期之比求出轨道半径之比．根据万有引力提供向心力得出向心加速度之比．

解答 解：A、相同时间内水星转过的角度为θ₁；金星转过的角度为θ₂，可知它们的角速度之比为θ₁：θ₂．周期T=$\frac{2π}{ω}$，则周期比为θ₂：θ₁．故A正确．
B、水星和金星是环绕天体，无法求出质量，也无法知道它们的半径，所以求不出密度比．故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，周期之比可以得出，则可以得出水星和金星到太阳的距离之比，故C正确．
D、由于轨道半径之比可以得出，根据a=$r\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，可以得出水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比，故D正确．
故选：ACD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道运用该理论只能求解中心天体质量，不能求解环绕天体质量．