Question

2．水平粗糙的直轨道ab与半径为R的数值半圆形的光滑轨道bc相切，一小球以初速度V₀沿直线轨道向右运动，如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过C点，然后小球沿C点抛出，不计空气阻力，正好落到直轨道ab的中点．求：
（1）小球到达c点的速度？
（2）小球到达b点时对轨道的压力为多大？
（3）小球与粗糙的直轨道ab间的动摩擦因数？

Answer 1

分析 （1）小球在竖直面内光滑圆轨道内做圆周运动，恰好通过最高点时可知在最高点重力恰好提供圆周运动向心力，由此求得小球在C点的速度；
（2）小球在b点时竖直方向的合力提供小球圆周运动的向心力，再根据动能定理求得小球在b点的速度，由此求得小球对轨道的压力；
（3）小球离开c点做平抛运动，根据抛出点的高度和速度求得射程大小，从而得出ab间距离的大小，根据动能定理求出动摩擦因数的大小．

解答 解：（1）小球恰好经过圆轨道的最高点，说明在c点重力恰好提供小球圆周运动的向心力，即有：
$mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
所以可得小球在C点的速度v_C=$\sqrt{gR}$；
（2）小球从b到c的过程中只有重力对小球做功，根据动能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入c点的速度可得小球在b点时的速度
v_B=$\sqrt{5gR}$
小球在b点时，所受轨道的支持力与重力的合力提供小球圆周运动的向心力有：
$N-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
可得小球受到轨道的支持力N=mg+$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=mg+5mg=6mg
根据牛顿第三定律可知，小球到达b时对轨道的压力N′=N=6mg；
（3）小球离开c点后做平抛运动，抛出点高度H=2R，抛出速度v_C=$\sqrt{gR}$，所以小球落地时的水平射程：
bd=${v}_{C}•\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=2R$
因为d是ab的中点，所以ab间距离s=2bd=4R
从a到b的过程中，根据动能定理有：
$-μmgs=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：μ=$\frac{5}{8}-\frac{{v}_{0}^{2}}{8gR}$
答：（1）小球到达c点的速度为$\sqrt{gR}$；
（2）小球到达b点时对轨道的压力为6mg；
（3）小球与粗糙的直轨道ab间的动摩擦因数为$\frac{5}{8}-\frac{{v}_{0}^{2}}{8gR}$．

点评 分析清楚运动过程，应用牛顿第二定律、动能定理、向心力公式即可正确解题，掌握竖直平面内圆周运动通过最高点的临界条件是正确解题的关键．