Question

4．如图所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD部分粗糙外，其余均光滑．一挑战者质量为m，沿斜面轨道滑下，无能量损失的滑入第一个圆管形轨道，根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来．挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，又经过水平轨道CD滑入第二个圆管形轨道，在最高点B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，然后从平台上飞入水池内．若第一个圆轨道的半径为R，第二个管轨道的半径为r，水面离轨道的距离为h=2.25r，管的内径及人的大小相对圆轨道的半径可以忽略不计．则：

（1）挑战者应从离水平轨道多高的地方开始下滑；
（2）挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功；
（3）挑战者入水时距离水平轨道末端P点的水平位移．

Answer 1

分析 （1）抓住挑战者在A点刚好对管壁无压力，可以求出小球经过A点时的速度大小，再从静止开始下滑到经过A点的过程中只有重力对挑战者做功，根据动能定理求得挑战者下滑的高度h；
（2）同理抓住在B点对管壁压力大小可以求得经过B点时的速度大小，然后从A到B的过程中有重力做功和CD段的阻力做功，根据动能定理求得克服阻力做功；
（3）挑战者滑离平台后做平抛运动，根据运动的合成与分解可以求得入水时的水平位移．

解答 解：（1）挑战者在A点对管壁无压力，则挑战者仅受重力作用，根据牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$，
可得挑战者在A点的速度为：v_A=$\sqrt{gR}$；
设挑战者从离水平轨道高为H处开始下滑，从静止开始到A点只有重力做功，根据动能定理有：
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
可得：H=$\frac{5}{2}R$．
（2）因为挑战者在B点对管的内侧壁压力为0.5mg，故满足：mg-N_B=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$，
可得：v_B=$\sqrt{0.5gr}$；
又因为挑战者从A滑至B点过程中只有重力做功和阻力在CD段做功，
根据动能定理有：mg（2R-2r）-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
所以有：W_f克=$\frac{5gR}{2}-\frac{9gr}{4}$；
（3）挑战者从B到D的过程中只有重力做功，根据动能定理有：mg•2r=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，
可得：v_D=$\sqrt{4.5gr}$；
挑战者平抛运动的速度与D点速度相等，平抛运动的时间为t，则：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{4.5r}{g}}$，
所以水平位移为：x=v_Dt=4.5r．
答：（1）挑战者应从离水平轨道$\frac{5}{2}R$的地方开始下滑；
（2）挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功为$\frac{5gR}{2}-\frac{9gr}{4}$；
（3）挑战者入水时距离水平轨道末端P点的水平位移为4.5r．

点评 本题主要是考查了动能定理；运用动能定理解题时，首先要选取研究过程，然后分析在这个运动过程中哪些力做正功、哪些力做负功，初末动能为多少，根据动能定理列方程解答；动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动；一个题目可能需要选择不同的过程多次运用动能定理研究，也可以全过程根据动能定理解答．