Question

9．如图所示，BC是半径为R的竖直面内的圆弧轨道，末端C在圆心O的正下方且与静止在光滑水平地面上质量也为m的小车上表面相切，∠BOC=60°，现将质量为m的小球，从与O等高的A点水平抛出，小球恰好从B点沿圆弧切线方向进入圆轨道，由于摩擦力的作用小球在圆弧轨道做匀速圆周运动，经过C点滑上小车，小车与圆弧轨道无相互作用．已知小球与小车间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，求：
（1）小球在A点水平抛出的速度v₀和A、B两点间的距离S₁；
（2）小球在画弧轨道上运动时克服摩擦力所做的功W_克和经过C点时对轨道的压力大小F_压；
（3）为了使小球不会滑离小车，小车的长度L至少为多少．

Answer 1

分析 （1）小球进入轨道前做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出小球的初速度、小球的水平与竖直位移，从而求出A、B两点的距离；
（2）由牛顿第二定律与牛顿第三定律可以求出小球对轨道的压力．由能量守恒定律可得小球克服摩擦力做的功等于重力做的功；
（3）由动量守恒定律和功能关系可求小车的至少为多长．

解答 解：（1）小球做从A到B做平抛运动，在B点，小球速度方向偏角θ=60°，
则tan60°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，v_y=gt
竖直方向的位移：y=Rcos60°=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向的位移x=v₀t
联立解得：v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{3}$；x=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$
则A、B两点的距离x_AB=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{12}R}$，
（2）在B点时小球的速度v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$
球从B到C做匀速圆周运动，则由能量守恒定律可知，小球克服摩擦力做的功等于重力做的功：W_克=W_G=mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mgR；
在C点由牛顿第二定律可得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入解得：N=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{7}{3}$mg
由作用力和反作用力可知，经过C点时对轨道的压力大小为$\frac{7}{3}$mg；
（3）小球滑上小车后，当两者速度相同时，一起做匀速运动，以两则为系统，动量守恒，以水平向右为正方向，
由动量守恒可得：mv=（m+m）v_共
由功能关系可得：μmgL=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$•2mv_共²
联立解得：L=$\frac{R}{3μ}$．
即为了使小球不会滑离小车，小车的长度L至少为$\frac{R}{3μ}$．
答：（1）小球在A点水平抛出的速度为$\frac{\sqrt{3gR}}{3}$；A、B两点间的距离为$\sqrt{\frac{7}{12}R}$；
（2）小球在画弧轨道上运动时克服摩擦力所做的功为$\frac{1}{2}$mgR；经过C点时对轨道的压力大小为$\frac{7}{3}$mg；
（3）小车的长度L至少为$\frac{R}{3μ}$．

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动，分析清楚小球运动过程、应用运动的合成与分解、运动学公式、牛顿第二定律即可正确解题．注意第三问运用动量守恒定律和功能关系相结合求解较为简捷．