题目内容
如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．匀强磁场分为Ⅰ、Ⅱ两个区域．其边界为MN、PQ，磁感应强度大小均为B，方向如图所示，Ⅰ区域高度为d，Ⅱ区域的高度足够大．一个质量为m、电量为q的带正电的小球从磁场上方的O点由静止开始下落，进入电、磁复合场后，恰能做匀速圆周运动（已知重力加速度为g）．（1）若带电小球能进入Ⅱ区域，h应满足什么条件？
（2）若带电小球经一定的时间后恰能回到O点，试求出h应满足的条件．
（3）若带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，求出h应满足的条件．
分析：（1）带电小球恰能做匀速圆周运动，则小球所受重力与电场力相等，由洛伦兹力提供向心力，则可得运动的半径公式，由带电小球能进入Ⅱ区域，可得半径与d的关系，再由运动学公式，即可求解．
（2）小球在混合场中做匀速圆周运动，速率不变，只有小球从进入磁场的位置离开磁场，然后做竖直上抛运动，才有可能回到出发点，由动能定理、牛顿第二定律可以求出释放点的高度．
（3）根据题意可知，当带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，则小球做匀速圆周运动，运动轨迹为半圆，根据运动半径公式，结合运动学公式，从而求解．
（2）小球在混合场中做匀速圆周运动，速率不变，只有小球从进入磁场的位置离开磁场，然后做竖直上抛运动，才有可能回到出发点，由动能定理、牛顿第二定律可以求出释放点的高度．
（3）根据题意可知，当带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，则小球做匀速圆周运动，运动轨迹为半圆，根据运动半径公式，结合运动学公式，从而求解．
解答：解：（1）小球做匀速圆周运动，则mg=qE，由洛伦兹力提供向心力，则有：Bqv=
，
要使带电小球能进入Ⅱ区域，因此d≤r，
再根据自由落体运动，则有：h=
；
由以上三式，联立可解得：h＞
；
（2）小球从进入磁场的位置离开磁场，才可能回到出发点，
小球运动轨迹如图所示；由几何知识得：轨道半径R=
d，
小球下落过程中，由动能定理得：mgh=
mv2-0，
由牛顿第二定律得：qvB=m
，解得：h=
；
（3）根据题意可知，带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，小球在复合场中，做匀速圆周运动，如图所示，
根据牛顿第二定律，则有：Bqv=
，
由几何关系，可得：r=
；
小球从静止开始做自由下落运动，则有：h=
；
由以上三式，可解得：h=
答：（1）若带电小球能进入Ⅱ区域，h应满足＞
；
（2）小球释放时距MN的高度为
；
（3）小球释放时距MN的高度为
．
| mv2 |
| r |
要使带电小球能进入Ⅱ区域，因此d≤r，
再根据自由落体运动，则有：h=
| v2 |
| 2g |
由以上三式，联立可解得：h＞
| B2d2q2 |
| 2m2g |
（2）小球从进入磁场的位置离开磁场，才可能回到出发点，
小球运动轨迹如图所示；由几何知识得：轨道半径R=
2
| ||
| 3 |
小球下落过程中，由动能定理得：mgh=
| 1 |
| 2 |
由牛顿第二定律得：qvB=m
| v2 |
| R |
| 2d2q2B2 |
| 3gm2 |
（3）根据题意可知，带电小球第一次射出边界MN时与射入点相距为d，小球在复合场中，做匀速圆周运动，如图所示，
根据牛顿第二定律，则有：Bqv=
| mv2 |
| r |
由几何关系，可得：r=
| d |
| 2 |
小球从静止开始做自由下落运动，则有：h=
| v2 |
| 2g |
由以上三式，可解得：h=
| d2q2B2 |
| 8gm2 |
答：（1）若带电小球能进入Ⅱ区域，h应满足＞
| B2d2q2 |
| 2m2g |
（2）小球释放时距MN的高度为
| 2d2q2B2 |
| 3gm2 |
（3）小球释放时距MN的高度为
| d2q2B2 |
| 8gm2 |
点评：本题是一道难题，分析清楚粒子的运动过程、作出粒子运动轨迹，熟练应用动能定律、牛顿第二定律、数学知识即可正确解题．
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