Question

19．如图所示，质量m=2kg的小球通过长l=1m的轻绳悬于天花板上O点，小球在A点所在的水平面内做匀速圆周运动，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ=60°，若在某段时间内空气阻力不可忽略，小球在水平面内做圆周运动的半径不断减小，经过这段时间后轻绳与竖直方向的夹角减为α=45°，小球在B点所在的水平面内继续做匀速圆周运动，g=10m/s²，试求：
（1）轻绳与竖直方向的夹角为60°时，小球的动能；
（2）小球从A平面下降到B平面的过程中克服阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球做匀速圆周运动，靠重力和拉力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出小球的线速度，从而得出小球的动能．
（2）根据牛顿第二定律得出在两个圆周上做匀速圆周运动的线速度大小，结合动能定理求出小球从A平面下降到B平面的过程中克服阻力做的功．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律得：mgtan60°=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{lsin60°}$，
代入数据解得：${v}_{1}=\sqrt{15}m/s$，
则小球的动能为：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×2×15J=15J$．
（2）在B平面，根据牛顿第二定律得：$mgtan45°=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{lsin45°}$，
代入数据解得：v₂=$\sqrt{5\sqrt{2}}$m/s，
根据动能定理得：mg（lcos45°-lcos60°）-W_f=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入数据解得：W_f≈12J．
答：（1）轻绳与竖直方向的夹角为60°时，小球的动能为15J；
（2）小球从A平面下降到B平面的过程中克服阻力做的功为12J．

点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合运用，知道小球做圆周运动向心力的来源，以及知道阻力做功为变力功，只能通过动能定理进行求解．