Question

11．如图所示，在以坐标原点O为圆心，半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，方向沿x轴负方向．匀强磁场方向垂直于xOy平面．一带负电的粒子（不计重力）从P（0，-R）点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经时间t₀从O点射出．
（1）求匀强磁场的大小和方向；
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从P点以相同的速度射入，经时间$\frac{{t}_{0}}{2}$恰好从半圆形区域的边界射出．求粒子的加速度和射出时的速度大小．
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从P点沿Y轴正方向射入，且速度为原来的4$\sqrt{3}$倍，求粒子在磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）经时间t₀从O点射出，求出粒子的速率，带电粒子恰好做匀速直线运动根据受电场力和洛伦兹力平衡列方程求B的大小；
（2）仅有电场时，带电粒子在匀强电场中作类平抛运动，根据类平抛运动的规律可以求得粒子运动加速度大小；
（3）仅有磁场时，入射速度v′=4v，带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，由几何关系可以求得圆周运动的半径的大小，由周期公式可以求得粒子的运动的时间．

解答 解：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，初速度为v，磁感应强度为B．可判断出粒子受到的电场力沿x轴正方向，则洛伦兹力沿X轴负方向，于是可知磁感应强度垂直XOY平面向外．    
且有：qE=qvB       
R=vt₀   
联立得：$B=\frac{E{t}_{0}}{R}$
（2）仅有电场时，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，
在y方向位移：y=$v\frac{{t}_{0}}{2}=\frac{R}{2}$
设在水平方向位移为x，因射出位置在半圆形区域边界上，于是
又有：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}a（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$
得：a=$\frac{4\sqrt{3}}{{{t}_{0}}^{2}}R$
设出射速度v₁，出射时水平分速度v_x，则：${v}_{x}=\frac{2x}{t}=\frac{2\sqrt{3}}{{t}_{0}}R$
则${v}_{1}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{v}^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{{t}_{0}}R$
（3）仅有磁场时，入射速度v₂=4V，带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，圆心为C，圆心角为2α，如图，设轨道半径为r，由牛顿第二定律有：
$q{v}_{2}B=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$
又qv₂B=4qE，
qE=ma
得：r=R
由几何关系 2α=90°
带电粒子在磁场中运动周期：
T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2πr}{{v}_{2}}$
则带电粒子在磁场中运动时间：
t_B=$\frac{2α}{2π}$T
所以 t_B=$\frac{\sqrt{3}}{24}π{t}_{0}$
答：（1）匀强磁场的大小为$\frac{E{t}_{0}}{R}$，方向垂直XOY平面向外；
（2）粒子的加速度为$\frac{4\sqrt{3}}{{{t}_{0}}^{2}}R$，射出时的速度大小为$\frac{\sqrt{13}}{{t}_{0}}R$．
（3）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{\sqrt{3}}{24}π{t}_{0}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．