Question

12．我国现有四个卫星发射中心，发射成功率已达世界一流水平，仅2014年就成功进行了16次宇航发射任务，现计划发射一颗距离地面高度为（$\sqrt{2}$-1）R₀的圆形轨道地球卫星，卫星轨道平面与赤道面重合，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R₀，地球自转角速度为ω₀，求：假如某时刻卫星正好位于赤道上一高山顶的正上方，则卫星再次出现在该山顶的正上方至少要经历多长时间？

Answer 1

分析 根据重力等于万有引力，万有引力等于向心力，列式求出卫星运行的周期．卫星绕地球做匀速圆周运动，山随地球自转做匀速圆周运动，当卫星转过的角度与山转过的角度之差等于2π时，卫星再次出现在山顶的正上方．

解答 解：在地球表面上，物体受到的万有引力与物体的重力近似相等，即有：G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$=mg  ①
根据卫星所需的向心力由地球的万有引力提供，得 G$\frac{Mm}{（\sqrt{2}{R}_{0}）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$•$\sqrt{2}$R₀  ②
由①②解得：T=2π$\sqrt{\frac{\sqrt{2}{R}_{0}}{g}}$
设至少经t时间卫星再次经过高山顶的正上方，则 $\frac{2π}{T}$t-ω₀t=2π
解得 t=$\frac{1}{\sqrt{\frac{g}{\sqrt{2}{R}_{0}}}-ω{\;}_{0}}$
答：卫星再次出现在该山顶的正上方至少要经历$\frac{1}{\sqrt{\frac{g}{\sqrt{2}{R}_{0}}}-ω{\;}_{0}}$时间．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的思路，本题根据这两个关系即可列式．