Question

2．近期，南海争端升级，为提高警惕保卫祖国，我国海军为此进行了登陆演练．如图所示，假设一艘战舰因吨位大吃水太深，只能停锚在离海岸登陆点s=lkm处．登陆队员需要从较高的军舰甲板上，利用绳索下滑到登陆快艇上再行登陆接近目标，若绳索两端固定好后，与竖直方向的夹角θ=30°，为保证行动最快，队员甲先利用溜索工具无摩擦自由加速滑到某最大速度，再靠摩擦匀减速滑至快艇，速度刚好为零，在队员甲开始下滑时，队员乙在甲板上同时开始向快艇以速度v₀=5m/s平抛救生圈（不计空气阻力），第一个刚落到快艇，接着抛第二个，结果第二个救生圈刚好与甲队员同时抵达快艇，若重力加速度g=10m/s²，问：
（1）军舰甲板到快艇的竖直高度H及队员甲在绳索上运动的时间t₀；
（2）若加速过程与减速过程中的加速度大小相等，则队员甲在何处速度最大？最大速度是多大？
（3）若快艇与战舰最初的距离相对快艇离岸距离可忽略，快艇的额定功率为5kW，载人后连同装备总质量为l0³kg，从静止开始以最大功率向登陆点加速靠近，到达岸边时刚好能达到最大速度10m/s，快艇在水中受到的阻力恒定，求快艇运动的时间t'．

Answer 1

分析 （1）救生圈做平抛运动，由平抛运动的规律求出其运动时间和H，即可得到队员甲在绳索上运动的时间t₀；
（2）由几何关系可得绳索长度，根据运动的对称性分析得出速度最大处，由位移与平均速度关系即可求解；
（3）由动能定理与达到最大速度时功率与阻力的关系，可联合求得结果．

解答 解：设救生圈做平抛运动的时间为t，有
竖直方向上：H=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：Htanθ=v₀t
设人下滑时间为t₀，由题意知：t₀=2t  
联立以上各式代入数据解得：H=15m  t₀=2$\sqrt{3}$s
（2）由几何关系得：绳索长：L=$\frac{H}{cos3{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$m
因加速过程与减速过程的加速度大小相等，所以，甲在绳索中点处速度最大，即：$\frac{1}{2}$v_mt×2=L
代入数据解得：v_m=$\frac{L}{t}$=10m/s
（3）加速过程由动能定理可得：Pt′-F_fs=$\frac{1}{2}$M${v}_{m}^{′2}$
加速到匀速时有：${v}_{m}^{′}$=$\frac{P}{{F}_{f}}$
联立代入数据解得：t′=1.1×10²s．
答：（1）军舰甲板到快艇的竖直高度H及队员甲在绳索上运动的时间为2$\sqrt{3}$s；
（2）队员甲在绳索中点处速度最大，最大速度是10m/s；
（3）快艇运动的时间为1.1×10²s．

点评 本题考查如何处理平抛运动的常规方法，并涉及到动能定理的理解．注意甲在何处速度达到最大是本题的关键之处．