Question

16．如图甲所示，质量均为m=1kg、电阻均为R=0.5Ω的导体棒MN、PQ放在间距L=1m，电阻不计的水平金属导轨abcd上，与导轨接触良好，两导体棒与导轨垂直．棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.6，以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场方向水平向左，两侧磁场的磁感应强度大小相等．在t=0时，一水平向右的拉力F垂直作用在导体棒MN上，使导体棒MN由静止开始向右做匀加速直线运动，水平拉力F随时间t变化的关系图线如图乙所示，取重力加速度g=10m/s²．

（1）求磁感应强度B的大小和导体棒MN的加速度大小．
（2）从t=0开始计时，一段时间内导体棒MN克服摩擦力做功W=12J，求该段时间通过导体棒PQ的电荷量．
（3）当导体棒MN到达边界ef时，导体棒PQ恰好对导轨无压力，此时撤除外力F，最终导体棒MN停在导体棒PQ位置处，整个运动过程中，电路产生的焦耳热为$\frac{1}{3}$×10³J，求外力F做的功．

Answer 1

分析 （1）导体棒MN做匀加速运动，根据牛顿第二定律和安培力与速度的关系列式，可求出F与t的关系式．结合图象的信息求B和加速度a．
（2）根据W=fs，求出导体棒MN通过的位移，再根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出电荷量．
（3）导体棒PQ恰好对导轨无压力，安培力等于其重力，由此求出此时回路中感应电流，得到MN棒的速度，再根据能量守恒定律求外力F做的功．

解答 解：（1）导体棒MN做匀加速运动，t时刻所受的安培力大小
  F_安=BIL=B$\frac{BLat}{2R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$
由牛顿第二定律得：
  F-μmg-F_安=ma
联立代入数据解得：F=B²at+（6+a）；
由图象信息得：
  6+a=7；
  B²a=k=$\frac{9-7}{2}$（k是图象的斜率）
联立解得  B=1T，a=1m/s²．
（2）导体棒MN克服摩擦力做功W=12J时，设滑行的位移为s，则
   W=μmgs
则得 s=2m
该段时间通过导体棒PQ的电荷量 q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{2R}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{2R}$=$\frac{BLs}{2R}$=$\frac{1×1×2}{2×0.5}$=2C
（3）当导体棒MN到达边界ef时，导体棒PQ恰好对导轨无压力，则有
  mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{2R}$
解得 t=10s
此时MN棒的速度为 v=at=10m/s
通过的位移 x=$\frac{v}{2}t$=50m
在此过程中，根据动能定理得：
   W_F-μmgx-Q_焦=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得，外力做功  W_F=$\frac{2.05}{3}×1{0}^{3}$≈683J
答：（1）磁感应强度B的大小是1T，导体棒MN的加速度大小是1m/s²．
（2）该段时间通过导体棒PQ的电荷量是2C．
（3）外力F做的功是683J．

点评 本题是一道电磁感应与力学相结合的综合题，正确分析清楚导体棒的运动过程是解题的前提与关键，对于匀加速运动，可以应用牛顿第二定律和运动学公式研究．在电磁感应中求电量，往往根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量的公式结合解答．