Question

2．卫星绕某星球表面附近做匀速圆周运动，若知卫星在高度h₁和h₂时的线速度分别为v₁和v₂，万有引力常量G已知，由以上信息无法求得的是（　　）

• A． 星球表面的重力加速度
• B． 该星球同步卫星的高度
• C． 星球的质量
• D． 星球的密度

Answer 1

分析 由两个轨道上的运动速度，可以列两次万有引力充当向心力的表达式，联立可以解得星球质量和半径，根据重力等于万有引力可以求出重力加速度．

解答 解：设星球的半径为R，星球的质量为M，根据万有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{（R+{h}_{1}^{\;}）}$①
$G\frac{Mm}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{（R+{h}_{2}^{\;}）}$②
由①得$GM={v}_{1}^{2}（R+{h}_{1}^{\;}）$③
$GM={v}_{2}^{2}（R+{h}_{2}^{\;}）$④
联立③④两式，可求得星球质量M和星球的半径R．AC能求
根据密度公式$ρ=\frac{M}{V}$，体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，可以求出密度，
在星球表面重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$，重力加速度也能求，D选项能求
根星球同步卫星的万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$h=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$，因为不知道星球自转周期，所以无法求出该星球同步卫星的高度B选项不能求
本题选无法求得的，故选：B

点评 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．要求解一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，再根据已知量进行判断．