Question

8．在倾角α=30°的斜坡底湍，一小石子以v₀的初速抛出，初速度方向与水平面的夹角用θ表示，如图所示，则：
（1）若v₀=10m/s，θ₀=60°，求石子在斜坡上的落点离抛出点的距离；
（2）θ为多大时，石子沿斜坡方向的射程最大？
（3）θ为多大时，石子垂直落在斜坡上．

Answer 1

分析 （1）根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则，及运动学公式，即可求解；
（2）依据第（1）问的结论，结合数学求解极值的方法，即可求解；
（3）将速度沿着水平方向与竖直方向分解，结合运动学公式，即可确定结果．

解答 解：（1）设石子在斜坡上的落点离抛出点的距离为s，
则在水平方向上，有：scosα=lv₀cosθ₀；
在竖直方向上，有：ssinα=lv₀sinθ₀-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
解得：s=$\frac{2{v}_{0}^{2}cos{θ}_{0}sin（{θ}_{0}-α）}{gco{s}^{2}α}$=6.7m
（2）由上分析可知，有：s=$\frac{2{v}_{0}^{2}cosθsin（θ-α）}{gco{s}^{2}α}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{gco{s}^{2}α}（sin（2θ-α）-sinα）$；
当$θ=\frac{π}{4}+\frac{α}{2}$=60°时，射程最大；
（3）设石子垂直落到斜坡上的速度为v_t，则有速度的关系式，
水平方向上，有：v_tsinα=v₀cosθ
竖直方向上，有：-v_tcosα=v₀sinα-gt
解得：t=$\frac{{v}_{0}cos（θ-α）}{gsinα}$
由第（1）问中的位移关系式可得，有：tanα=$\frac{{v}_{0}sinθ×t-\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}cosθ×t}$；
解得：tanθ=$\frac{1+si{n}^{2}α}{sinα•cosα}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
答：（1）若v₀=10m/s，θ₀=60°，则石子在斜坡上的落点离抛出点的距离为6.7m；
（2）θ为60°时，石子沿斜坡方向的射程最大；
（3）θ的正切值为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$时，石子垂直落在斜坡上．

点评 考查运动的合成与分解的内容，掌握矢量的合成法则，理解数学知识在物理问题的运用思维．