Question

9．如图所示，一个质量为m=2×10^-15kg，电荷量为q=+3×10^-10c的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经U₁=90V电压加速后，由中点水平进入两水平平行金属板间的偏转电场，偏转电场的电压U₂=70V，金属板长L=30$\sqrt{3}$cm，板间距离d=35cm．求
（1）粒子进入偏转电场时速度v₀的大小；
（2）粒子射出电场时的速度方向与水平方向的夹角
（3）若在两平行金属板右侧区域加上垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场区域的宽度D=20cm，为使粒子从磁场的右边界沿水平方向射出，磁感应强度应为多大？粒子在磁场中的运动时间为多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在加速电场中，电场力做功，由动能定理求出速度v₀．
（2）粒子进入偏转电场后，做类平抛运动，运用运动的合成与分解分别研究水平和竖直两个方向的分速度，再求出夹角．
（3）粒子进入磁场后，做匀速圆周运动，结合条件，画出轨迹，由几何知识求半径，再求B．再根据轨迹对应的圆心角求解时间．

解答 解：（1）带电微粒经加速电场加速后工作获得的速度为v₀，对电场加速过程，根据动能定理得：
  U₁q=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×3×1{0}^{-10}×90}{2×1{0}^{-15}}}$=3$\sqrt{3}$×10³m/s
（2）带电微粒在偏转电场中只受电场力作用，做类平抛运动．在水平方向微粒做匀速直线运动
水平方向：L=v₀t
带电微粒在竖直方向做匀加速直线运动，加速度为a，出电场时竖直方向速度为v_y
竖直方向：
加速度为 a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{q{U}_{2}}{md}$
竖直分速度为 v_y=at
由几何关系得 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
联立可得 
  tanθ=$\frac{{U}_{2}L}{2{U}_{1}d}$=$\frac{70×0.3\sqrt{3}}{2×90×0.35}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
得 θ=30°
（3）带电微粒进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设微粒轨道半径为R，为使粒子从磁场的右边界沿水平方向射出，由几何关系知轨迹的圆心角等于30°
，轨迹半径为 R=$\frac{D}{sin30°}$=2D=0.4m
设微粒进入磁场时的速度为v，则v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$=$\frac{3\sqrt{3}×1{0}^{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6×10³m/s
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，B=$\frac{mv}{qR}$=0.1T
粒子在磁场中的运动时间为 T=$\frac{30°}{360°}$T=$\frac{1}{12}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3.14×2×1{0}^{-15}}{6×3×1{0}^{-10}×0.1}$s≈3.5×10^-5s
答：
（1）粒子进入偏转电场时速度v₀的大小是3$\sqrt{3}$×10³m/s；
（2）粒子射出电场时的速度方向与水平方向的夹角是30°．
（3）为使粒子从磁场的右边界沿水平方向射出，磁感应强度应为0.1T，粒子在磁场中的运动时间为3.5×10^-5s．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，关键是分析粒子的受力情况和运动情况，用力学的方法处理．