Question

7．如图，固定斜面倾角α=37°，质量为m的物体受拉力F作用由静止开始沿斜面向上运动，拉力F的方向与斜面的夹角为β．在β=37°和β=0两种情况下，若拉力F大小相同，物体沿斜面上滑的加速度相同．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）拉力F的大小在何范围；
（3）若拉力F的大小为$\frac{{9\sqrt{10}}}{25}$mg，方向可变，使物体由静止沿斜面上滑一段位移s，则所需的最短时间t为多少？

Answer 1

分析 （1）当β=37°时，对物体受力分析，根据牛顿第二定律列式，当β=0时，对物体受力分析，根据牛顿第二定律列式，联立方程即可求解；
（2）根据（1）中求出的两个加速度的表达式结合a＞0求解F的范围；
（3）拉力F的方向与斜面的夹角为任意β时，根据牛顿第二定律求出加速度的表达式，根据数学知识求出加速度的最大值，再根据位移时间公式求解最小时间．

解答 解：（1）β=37°时，物体的加速度为a，则：Fcos37°-mgsin37°-μ（mgcos37°-Fsin37°）=ma①
β=0时：F-mgsin37°-μmgcos37°=ma②
由①、②式有：Fcos37°+μFsin37°=F，cos37°+μsin37°=1
解得：$μ=\frac{1}{3}$
（2）由①式有：mgcos37°≥Fsin37°，
解得：$F≤\frac{4}{3}mg$
a＞0，由②式可得：F-mgsin37°-μmgcos37°＞0
则$F＞\frac{13}{15}mg$
则$\frac{13}{15}mg＜F≤\frac{4}{3}mg$
（3）拉力F的方向与斜面的夹角为β，则：
Fcosβ-mgsin37°-μ（mgcos37°-Fsinβ）=ma
F（cosβ+μsinβ）-mgsin37°-μmgcos37°=ma
$F\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（β+θ）-mgsin37°-μmgcos37°=ma$，其中$tanθ=\frac{1}{μ}=3$
当$β=arctan\frac{1}{3}$时，物体的加速度a最大，${a_m}=\frac{1}{3}g$
物体匀加速上滑：$s=\frac{1}{2}a{t^2}$
解得：${t_{min}}=\sqrt{\frac{2s}{a_m}}=\sqrt{\frac{6s}{g}}$
答：（1）物体与斜面间的动摩擦因数为$\frac{1}{3}$；
（2）拉力F的大小在何范围为$\frac{13}{15}mg＜F≤\frac{4}{3}mg$；
（3）若拉力F的大小为$\frac{{9\sqrt{10}}}{25}$mg，方向可变，使物体由静止沿斜面上滑一段位移s，则所需的最短时间t为$\sqrt{\frac{6s}{g}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律得直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况，第3问中要写出加速度的一半表达式，能根据数学知识求出加速度的最大值，对数学要求较高，难度适中．