Question

17．如图所示，间距为L=1m的两平行金属导轨与水平面成θ=37°角固定放置，虚线MN上方存在垂直轨道平面向下的匀强磁场，MN下方存在平行轨道向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B=1T，MN上下两部分轨道均足够长，其电阻均不计．光滑金属棒ab的质量为m=1kg，电阻为r=lΩ；金属棒cd的质量也为m=1kg，电阻为R=2Ω，它与轨道间的动摩擦因数为μ=0.6．现由静止释放cd棒，同时对ab棒施加一平行轨道向上的外力F，使ab棒沿轨道向上做初速度为零、加速度为a=3m/s²的匀加速直线运动，两棒运动过程中始终与轨道垂直且与轨道接触良好．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）
（1）写出所加外力F随时间t变化的关系式．
（2）求cd棒达到最大速度所用时间t₀．
（3）若从释放cd到cd达到最大速度时外力F所做的功为W_F=62J，求此过程中回路中所产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）ab棒沿轨道向上做初速度为零的匀加速直线运动，由v=at、E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F_安=BIL推导出安培力与时间的关系式，对ab棒，即可由牛顿第二定律得到外力F与时间t的关系式；
（2）cd棒向下先加速度减小的加速运动，后做匀速运动，此时速度达到最大，根据平衡条件求解时间t₀；
（3）由运动学公式求出cd棒达到最大速度时通过的位移和所用时间，再由动能定理求解ab棒克服安培力做功，即等于此过程中回路中所产生的焦耳热Q．

解答 解：（1）设经过时间t后ab棒的速度为v，则v=at①
此时回路中的感应电动势为 E=BLv，②
感应电流为 I=$\frac{E}{R+r}$  ③
设安培力大小为F_安，则F_安=BIL，④
对ab棒，由牛顿第二定律得：F-mgsinθ-F_安=ma  ⑤
联立以上几式得，F=（t+9）N  ⑥
（2）设cd棒达到最大速度时所用时间为t₀，此时ab棒的速度为v0，安培力大小为F_安′，则由①～④得
   F_安′=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a{t}_{0}}{R+r}$  ⑦
对cd棒，由平衡条件得  mgsinθ=μ（mgcosθ+F_安′）  ⑧
由⑦⑧得，t₀=2s
（3）设当cd棒达到最大速度时，ab棒沿导轨向上运动的距离为x，由运动学公式得
   x=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$  ⑩
   v₀=at₀      （11）
对ab棒，由动能定理得
   W_F-mgxsinθ-W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  （12）
则得克服安培力做的功为 W_安=Q  （13）
由⑨～（13）解得，Q=8J
答：（1）所加外力F与时间t的关系式是F=（t+9）N．
（2）cd棒达到最大速度所用时间t₀是2s．
（3）若从释放cd到cd达到最大速度时外力F所做的功为W_F=62J，此过程中回路中所产生的焦耳热Q是8J．

点评 本题中电磁感应与力学知识的综合，安培力是桥梁，推导法拉第电磁感应定律、欧姆定律推导安培力表达式是关键．