Question

2．如图所示，光滑水平桌面上固定放置的长直导线中通以大小为I的恒定电流，桌面上导线的右侧距离通电长直导线2l处有两线框abcd、a′b′c′d′正以相同的速度v₀经过虚线MN向左运动，MN平行长直导线，两线框的ad边、a′d′边与MN重合，线框abcd、a′b′c′d′是由相同材料制成的、质量相同的单匝正方形金属线框，边长分别为l、2l．已知通电长直导线周围磁场中某点的磁感应强度B=k$\frac{I}{r}$k为常数，r表示该点到长直导线的距离）．下列说法正确的是（　　）

• A． 此时流经线框abcd、a′b′c′d′的电流强度之比为4：3
• B． 此时线框abcd、a′b′c′d′所受安培力的功率之比为4：9
• C． 此时线框abcd、a′b′c′d′的加速度之比为4：9
• D． 此时a、b间电压U_ab=$\frac{kl{v}_{0}}{24}$

Answer 1

分析 根据电阻定律得到两个线框的电阻之比；根据切割公式得到两个线框产生的感应电动势之比，注意左右两个边的切割电动势反向；根据欧姆定律得到感应电流之比；克服安培力做功的功率等于电流的功率之比；根据安培力公式得到安培力之比，根据牛顿第二定律得到加速度之比；根据欧姆定律得到ab间的电压大小．

解答 解：A、线框abcd、a′b′c′d′是由相同材料制成的、质量相同的单匝正方形金属线框，
两个线框的长度之比为1：2，根据m=ρV=ρSx，可知横截面积之比为2：1；
故根据电阻定律R=$ρ′\frac{x}{s}$，电阻之比为1：4；
线框abcd的感应电动势为：E₁=$\frac{kI}{2l}•l•{v}_{0}$-$\frac{kI}{3l}•l•{v}_{0}$=$\frac{1}{6}kI{v}_{0}$，
线框a′b′c′d′的感应电动势为：E₂=$\frac{kI}{2l}•2l•{v}_{0}$-$\frac{kI}{4l}•2l•{v}_{0}$=$\frac{1}{2}$kIv₀，
根据欧姆定律，感应电流之比：$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}}}{\frac{{E}_{2}}{{R}_{2}}}=\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{4}{1}=\frac{4}{3}$，故A正确；
B、克服安培力的功率等于电流的功率，故线框abcd、a′b′c′d′所受安培力的功率之比：$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{I}_{1}^{2}{R}_{1}}{{I}_{2}^{2}{R}_{2}}={（\frac{2}{3}）}^{2}×\frac{1}{4}=\frac{4}{9}$，故B正确；
C、安培力的功率之比为4：9，速度相同，根据P=Fv可知，安培力之比为4：9；
根据牛顿第二定律，有F=ma，两个框的质量之比为1：1，故加速度之比为：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{\frac{{F}_{1}}{{m}_{1}}}{\frac{{F}_{2}}{{m}_{2}}}=\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}=\frac{4}{9}×\frac{1}{1}=\frac{4}{9}$，故C正确；
D、根据A的分析可知：E₁=$\frac{kI}{2l}•l•{v}_{0}$-$\frac{kI}{3l}•l•{v}_{0}$=$\frac{1}{6}kI{v}_{0}$，
根据右手定则可知电流为逆时针方向，故U_ab＜0，
设每个边的电阻为r，则U_ab=-I₁r=-$\frac{{E}_{1}}{4r}r=-\frac{\frac{1}{6}kIL}{4r}r$=-$\frac{kl{v}_{0}}{24}$，故D错误；
故选：ABC

点评 本题步骤较多，首先根据质量之比和长度之比得到导线的横截面积之比，然后根据电阻定律求解电阻之比；然后根据切割电动势公式和欧姆定律得到感应电流之比；再根据功能关系得到安培力之比，求解出加速度之比；最后要结合闭合电路欧姆定律求解U_ab，同时要注意U_ab＜0．难度较大．