Question

6．人造地球卫星P绕地球球心作匀速圆周运动，距地球球心的距离为r，地球的质量为M，引力常量为G．
（1）求卫星P绕地球运行周期；
（2）现有另一地球卫星Q，Q绕地球运行的周期是卫星P绕地球运行周期的8倍，且P、Q的运行轨迹位于同一平面内，如图所示，求卫星P、Q在绕地球运行过程中，两星间相距最近时的距离多大；
（3）若第（2）问的卫星Q与卫星P在某时刻相距最近，求此后经多长时间P、Q、地球三者共线．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，求出卫星P绕地球运动的周期．
（2）根据周期的关系求出卫星Q的轨道半径，当P、Q、地球共线且P、Q位于地球同侧时最近．
（3）根据两卫星的周期关系，求出三者共线经历的时间．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，卫星P绕地球运行的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
（2）Q绕地球运行的周期是卫星P绕地球运行周期的8倍，根据T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$知，r_Q=4r，
P、Q、地球共线且P、Q位于地球同侧时最近，最近距离d=4r-r=3r．
（3）当卫星P和Q同向绕行时，设经过t时间三者共线，有：$\frac{2π}{{T}_{p}}t-\frac{2π}{{T}_{Q}}t=nπ$，
解得t=$\frac{8nπ}{7}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，（n=1、2、3…）  
当卫星P和Q反向绕行时，设经过t时间三者共线，有：$\frac{2π}{{T}_{p}}t+\frac{2π}{{T}_{Q}}t=nπ$，
解得t=$\frac{8nπ}{9}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
答：（1）卫星P绕地球运行周期为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
（2）卫星P、Q在绕地球运行过程中，两星间相距最近时的距离为3r；
（3）同向绕行时，经历的时间为t=$\frac{8nπ}{7}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，（n=1、2、3…），反向绕行时，经历的时间t=$\frac{8nπ}{9}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，（n=1、2、3…）．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道周期与轨道半径的关系，结合转过的角度关系求出共线的时间，难度中等．