题目内容
20．如图1所示，在xOy平面的第一、四象限内存在着方向垂直纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在第四象限内存在方向沿-y方向、电场强度为E的匀强电场．从y轴上坐标为（0，a）的P点向磁场区发射速度大小不等的带正电同种粒子，速度方向范围是与+y方向成30°-150°角，且在xOy平面内．结果所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x轴上，然后进入第四象限内的正交电磁场区．已知带电粒子电量为+q，质量为m，粒子重力不计．
（1）所有通过第一象限磁场区的粒子中，求粒子经历的最短时间与最长时间的比值；
（2）求粒子打到x轴上的范围；
（3）从x轴上x=a点射入第四象限的粒子穿过正交电磁场后从y轴上y=-b的Q点射出电磁场，求该粒子射出电磁场时的速度大小．
分析 （1）由题意，所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x轴上，先找出两个边界上的粒子，分析在第一象限内的运动情况，可知与y轴正方向成30°的粒子运动时间最长，与y轴正方向成150°的粒子运动时间最短．由几何知识可确定粒子的速度偏向角θ最小值和最大值，而速度的偏向角等于轨迹的圆心角θ，根据t=$\frac{θ}{2π}$T，即得到粒子在磁场中的最短时间和最长时间，然后求出比值．
（2）利用带电粒子在有边界的匀强磁场中做圆周运动时确定圆心和半径的方法，分别求出两种粒子经过x轴时距坐标原点的距离，从而可表示出粒子打到 x 轴上的范围．
（3）由几何关系可得出粒子从-b点离开所对应的圆周运动的半径，由半径公式可求得粒子的速度，然后应用动能定理求出粒子速度．
解答 解：（1）所有粒子在第一象限内运动时，与y轴正方向成150°的粒子运动时间最短，其速度的偏向角为$\frac{π}{6}$，最短时间为：tmin=$\frac{\frac{π}{6}}{2π}$T=$\frac{1}{12}$T，
所有粒子在第一象限内运动时，与y轴正方向成30°的粒子运动时间最长，其速度的偏向角为$\frac{5π}{6}$，最长时间为：tmax=$\frac{\frac{5π}{6}}{2π}$T=$\frac{5}{12}$T，
粒子经历的最短时间与最长时间的比值：$\frac{{t}_{min}}{{t}_{max}}$=$\frac{\frac{1}{12}T}{\frac{5}{12}T}$=$\frac{1}{5}$；
（2）与y轴夹角150°入射的粒子轨迹半径为：R1=$\frac{a}{sin30°}$=2a，
打在最左边的坐标是 x1=R1（1-cos30°）=（2-$\sqrt{3}$）a，
与y轴夹角为30°的粒子轨迹半径为 R2=$\frac{a}{sin30°}$=2a
打在最右边的坐标是 x2=R2（1+cos30°）=（2+$\sqrt{3}$）a，
粒子通过x轴时的位置范围是：（2-$\sqrt{3}$）a≤x≤（2+$\sqrt{3}$）a；
（3）从x轴上x=a点射入第四象限的粒子，粒子运动轨迹如图所示：
粒子运动的圆心在O点，轨道半径r1=a，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：v0=$\frac{qBa}{m}$，
在第四象限，对粒子由动能定理得：qEb=$\frac{1}{2}$mv2-$\frac{1}{2}$mv02，
解得：v=$\sqrt{\frac{2qEb}{m}+\frac{{q}^{2}{B}^{2}{a}^{2}}{{m}^{2}}}$；
答：（1）所有通过第一象限磁场区的粒子中，粒子经历的最短时间与最长时间的比值为1：5；
（2）粒子打到x轴上的范围是：（2-$\sqrt{3}$）a≤x≤（2+$\sqrt{3}$）a；
（3）从x轴上x=a点射入第四象限的粒子穿过正交电磁场后从y轴上y=-b的Q点射出电磁场，该粒子射出电磁场时的速度大小为$\sqrt{\frac{2qEb}{m}+\frac{{q}^{2}{B}^{2}{a}^{2}}{{m}^{2}}}$．
点评 带电粒子在磁场中的运动类题目关键在于找出圆心确定半径，所以在解题时几何关系是关键，应灵活应用几何关系，同时结合画图去找出合理的解题方法．
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如图所示，有一金属块放在垂直于表面C的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，金属块的厚度为d，高为h．当有稳恒电流I平行平面C的方向通过时，由于磁场力的作用，金属块的上下两表面M、N间的电压为U，则金属块中单位体积内的自由电子数目为（ ）| A． | 金属块的上表面电势高 | B． | 金属块的上表面电势低 | ||
| C． | $\frac{BI}{edU}$ | D． | $\frac{edU}{IB}$ |
| A． | 另一颗星的质量 | |
| B． | 每颗星的线速度与自身的轨道半径成反比 | |
| C． | 每颗星的质量与自身的孰道半径成正比 | |
| D． | 每颗星的质量与自身的轨道半径成反比 |
| A． | 若在A点换上点电荷-q，A点的场强方向将与原来相反 | |
| B． | 若在A点换上电荷量为2q 的点电荷，A点的场强变为2E | |
| C． | 若将A点的电荷移去，A点的场强变为零 | |
| D． | 若将A点的电荷移去，A点的场强仍为E |
并减速进入一定深度的水中，其质量不变，则（ ）
| A． | 该碎片在空中下落过程中重力做的功等于动能的增加量 | |
| B． | 该碎片在空中下落过程中重力做的功等于空气阻力的功率 | |
| C． | 该碎片在进入水中的过程中重力做的功等于动能的改变量 | |
| D． | 该碎片在整个过程中机械能的增量等于除重力外其他力做功的代数和 |
如图所示，水平地面上有一个精致的直角三角形滑块P，顶点A到地面的距离h=0.45m，水平地面上D处有一固定障碍物，滑块的C端到D的距离L=4.0m．在其顶点A处放一个小物块Q，不粘连，最初系统静止不动．现在滑块左端施加水平向右的推力F=24N，使二者相对静止一起向右运动，当C端撞到障碍物时立即撤去力F，且滑块P立即以原速率反弹，小物块Q最终落在地面上．滑块P的质量M=3.5kg，小物块Q的质量m=0.5kg，P与地面间的动摩擦因数4．（取g=10m/s2）求：
如图所示，两平行金属板P1和P2之间的距离为d、电压为U，板间存在磁感应强度为B1的匀强磁场．一个带正电的粒子在两板间沿虚线所示路径做匀速直线运动．粒子通过两平行板后从O点进入另一磁感应强度为B2的匀强磁场中，在洛伦兹力的作用下，粒子做匀速圆周运动，经过半个圆周后打在挡板MN上的A点．已知粒子的质量为m，电荷量为q．不计粒子重力．则：