Question

3．在水平向右运动的小车上，有一个倾角为37°的光滑斜面上，质量为m的小球被平行斜面的细绳系住而处于静止状态，求：小球能一起与斜面运动而不分开的最大加速度？若小球的加速度a=2g水平向右，绳对小球的拉力和斜面对其的支持力各多大？

Answer 1

分析 根据小球刚刚飞离斜面的临界条件，即绳子的倾角不变，斜面的支持力刚好为零，解出此时的加速度大小，即为最大加速度．将题中给出加速度2g与临界加速度比较，说明小球是否飞离了斜面，再由牛顿第二定律求解．

解答 解：当加速度a较小时，小球与斜面一起运动，此时小球受重力、绳子拉力和斜面的支持力，绳子平行于斜面；当加速度a足够大时，小球将飞离斜面，此时小球仅受重力与绳子的拉力作用，小球的受力如图，则 F_合=mgcot37°=ma_max，a_max=gcot37°=$\frac{4}{3}$g
当a=2g时，a＞a_max
所以小球一定离开斜面，斜面对小球的支持力N=0，小球的受力如图所示：
                                                         
则水平方向有牛顿第二定律得：
 Tcosα=ma
竖直方向有受力平衡得：
 Tsinα=mg
由以上两式整理得：
 T=$\sqrt{（ma）^{2}+（mg）^{2}}$=$\sqrt{（m•2g）^{2}+（mg）^{2}}$=$\sqrt{5}$mg
答：小球能一起与斜面运动而不分开的最大加速度是$\frac{4}{3}$g，若小球的加速度a=2g水平向右，绳对小球的拉力是$\sqrt{5}$mg，斜面对其的支持力是0．

点评 此题最难解决的问题是小球是否飞离了斜面，我们可以用假设法判断出临界加速度来进行比较．