Question

4．宇宙中有两颗相距无限远的恒星S₁、S₂，半径均为R₀．如图分别是两颗恒星周围行星的公转半径r³与公转周期T²的图象，其中r³为横轴，T²为纵轴．则（　　）

• A． 恒星S₁的质量大于恒星S₂的质量
• B． 恒星S₁的密度小于恒星S₂的密度
• C． 距两恒星表面高度相同的行星，S₁的行星向心加速度较大
• D． 恒星S₁的第一宇宙速度小于恒星S₂的第一宇宙速度

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得出卫星的周期与恒星的质量、半径之间的关系，然后进行比较；
结合万有引力提供向心力，分别写出第一宇宙速度的表达式，然后比较它们的大小关系．

解答 解：A、由题图可知，当绕恒星运动的行星的环绕半径相等时，S₁运动的周期比较大，根据公式：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$所以：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$；
故周期越大则质量越小，所以恒星S₁的质量小于恒星S₂的质量．故A错误；
B、两颗恒星的半径相等，则根据M=ρV，半径R₀相等则它们的体积相等，所以质量大S₂的密度大，故B正确；
C、距恒星表面一定高度的行星，向心加速度大小设为a，根据牛顿第二定律，有：ma=$G\frac{Mm}{r^2}$；
由于恒星S₁的质量小于恒星S₂的质量，所以S₁的行星向心加速度较小，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力，则：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$，所以：v=${\sqrt{\frac{GM}{R}}}$；
由于恒星S₁的质量小于恒星S₂的质量，所以恒星S₁的第一宇宙速度小于恒星S₂的第一宇宙速度．故D正确；
故选：BD

点评 该题考查万有引力定律的应用，由于两个恒星的半径均为R₀，又可以根据图象，结合万有引力定律比较半径和周期之间的关系．当然也可以结合开普勒第三定律分析半径与周期之间的关系．