Question

18．如图，在空间中存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向外，同时在x＞0的空间中存在匀强电场，方向沿y轴正方向．一带电量为+q、质量为m的带电粒子，从x轴负方向上某点P以初速度v₀射入第二象限，方向与x轴负方向成60°角，经过一定时间后从y轴上y=$\frac{3}{2}$L处的Q点沿x轴正方向进入x＞0的空间，并在x＞0的空间中做匀速直线运动．若保持粒子经过P点时的速度不变，而将x＞0的空间中的匀强磁场撤去，匀强电场大小保持不变，方向变为沿y轴负方向，粒子将经过x轴上的M点．不计重力．求：
（1）粒子的初速度V₀为多大？
（2）粒子从P点到M点的时间为多少？
（3）粒子经过M点时的速度V为多大？

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出粒子在匀强磁场中运动的轨道半径，结合半径公式求出粒子的初速度大小．
（2）粒子在x＞0的空间中做匀速直线运动．知电场力和洛伦兹力平衡，根据平衡求出电场强度的大小．将x＞0的空间中的匀强磁场撤去，粒子做类平抛运动，结合圆周运动的时间和类平抛运动的时间求出粒子从P点到M点的时间．
（3）根据速度时间公式求出粒子经过M点的竖直分速度，结合平行四边形定则求出粒子在M点的速度．

解答 解：（1）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为r，则：
根据几何关系有：$r+rcos60°=\frac{3}{2}L$，
解得r=L．
根据$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$得：${v}_{0}=\frac{qBL}{m}$．
（2）设电场强度为E，则：qE=qv₀B，
解得：E=$\frac{q{B}^{2}L}{m}$．
设粒子在磁场和电场中运动的时间分别为t₁、t₂
则${t}_{1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$．
$\frac{3}{2}L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{2}}^{2}$，
解得：${t}_{2}=\frac{\sqrt{3}m}{qB}$，
则：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{3qB}$．
（3）粒子经过M点时，有：${v}_{y}=\frac{qE}{m}{t}_{2}=\frac{\sqrt{3}qBL}{m}$．
根据平行四边形定则知：v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{2qBL}{m}$．
答：（1）粒子的初速度为$\frac{qBL}{m}$；
（2）粒子从P点到M点的时间为$\frac{（2π+3\sqrt{3}）m}{3qB}$；
（3）粒子经过M点时的速度为$\frac{2qBL}{m}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，对于粒子在磁场中的运动，关键确定圆心、半径和圆心角，对于粒子在电场中的运动，关键掌握处理类平抛运动的方法，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．