Question

3．如图所示，两个同心圆是磁场的理想边界，内圆半径为R，外圆半径为$\sqrt{3}$R，磁场方向垂直于纸面向里，内外圆之间环形区域磁感应强度为B，内圆的磁感应强度为$\frac{B}{3}$．t=0时一个质量为m，带-q电量的离子（不计重力），从内圆上的A点沿半径方向飞进环形磁场，刚好没有飞出磁场．
（1）求离子速度大小
（2）离子自A点射出后在两个磁场不断地飞进飞出，从t=0开始经多长时间第一次回到A点？
（3）从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中运动的时间共为多少？
（4）画出从t=0到第二次回到A点离子运动的轨迹．（小圆上的黑点为圆周的等分点，供画图时参考）

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出离子刚好不出环形磁场时的半径，结合半径公式求出离子的大小．
（2）作出离子运动的轨迹图，根据半径公式、周期公式以及圆心角的大小，结合几何关系求出第一次回到A点的时间．
（3）从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中共运动6次，结合周期公式和几何关系求出运动的时间．
（4）根据几何关系作出离子的轨迹图．

解答 解：（1）依题意在外磁场轨迹与外圆相切，如图
由牛顿第二定律：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
由图中几何关系得：${（\sqrt{3}R-{r_1}）^2}={R^2}+r_1^2$
得：${r_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}R$．
由以上各式得：$v=\frac{{\sqrt{3}qBR}}{3m}$．
（2）离子从A出发经C、D第一次回到A轨迹如图，在内圆的磁场区域：$qv\frac{B}{3}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
可得：${r}_{2}=\frac{3mv}{qB}=3{r}_{1}=\sqrt{3}R$，
周期：${T_2}=\frac{{2π{r_2}}}{v}=\frac{6πm}{qB}$
由几何关系可知：β=$\frac{π}{6}$
在外磁场区域的周期：${T_1}=\frac{{2π{r_1}}}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
由几何关系可知：α=$\frac{4π}{3}$．
离子A→C→D→A的时间：$t{\;}_1=2×\frac{2}{3}{T_1}+\frac{1}{6}{T_2}$
解得：$t{\;}_1=\frac{11πm}{3qB}$．
（3）从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在内圆磁场中共运动6次，时间为t₂：$t{\;}_2=6×\frac{1}{6}{T_2}$
解得：$t{\;}_2=\frac{6πm}{qB}$
（4）轨迹如图．
答：（1）离子速度大小为$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；
（2）从t=0开始经$\frac{11πm}{3qB}$时间第一次回到A点．
（3）离子在内圆磁场中运动的时间共为$\frac{6πm}{qB}$．
（4）轨迹如图所示．

点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，关键会确定圆心、半径和圆心角，结合周期公式、半径公式进行求解，会作出离子运动的轨迹图是解决的关键．