Question

17．有一宇宙飞船，以速度v接近某行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得（　　）

• A． 该行星的半径为$\frac{vT}{2π}$
• B． 该行星的平均密度为$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． 该行星的质量为$\frac{{4{π^2}v}}{{G{T^2}}}$
• D． 该行星表面的重力加速度为$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根据线速度与周期的关系求出行星的半径；根据万有引力提供向心力求出行星的质量，结合行星的体积求出行星的平均密度；根据行星的半径和行星质量的表达式求出行星的质量．根据万有引力等于重力求出行星表面的重力加速度．

解答 解：A、根据T=$\frac{2πR}{v}$知，行星的半径R=$\frac{vT}{2π}$，故A正确．
B、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，行星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，则行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故B正确．
C、由B选项知，行星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，R=$\frac{vT}{2π}$，解得M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，故C错误．
D、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}•\frac{vT}{2π}=\frac{2πv}{T}$，故D正确．
故选：ABD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．