Question

17．如图甲所示，水平地面上有一辆固定有长为L的竖直光滑绝缘管的小车，管的底部有一质量m=0.020g、电荷量q=8.0×10^-5C的小球，小球的直径比管的内径略小．管口的侧壁处装有压力传感器，能够测出小球离开管口时对管壁的压力．在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B₁=1.5T的匀强磁场，MN面的上方还存在着竖直向上、场强E=2.5V/m的匀强电场和垂直纸面向外、磁感应强度B₂=0.50T的匀强磁场．现让小车始终保持v_x=2.0m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过场的边界PQ为计时的起点，当小球运动到管口时，测得小球对管侧壁的弹力F_N=2.4×10^-4N．取重力加速度g=10m/s²，π取3，不计空气阻力．求：

（1）小球刚进入磁场B₁时的加速度大小a_y；
（2）在图乙中内画出小球受管壁的弹力随竖直位移y变化的图象，在方格内写出小球离开管口时的竖直位移大小，并计算出管壁弹力对小球做的功；
（3）小球离开管后再次经过水平面MN时距管口的距离△x．

Answer 1

分析 （1）由受力分析，求出加速度大即可
（2）由运动学知识求出小球的运动状态，运用定能定理求出功的大小
（3）电场力与重力平衡，小球在复合场中做匀速圆周运动，求出轨迹半径，然后求解即可

解答 解：（1）以小球为研究对象，竖直方向小球受重力和恒定的洛伦兹力f_y，故小球在管中竖直方向做匀加速直线运动，加速度大小为a_y，
则${a}_{y}=\frac{{f}_{y}-mg}{m}$
又f_y=qv_xB₁
解得：a_y=2.0m/s²
（2）以地面为参照物．小球在水平方向以v_x=2m/s的速度匀速向右运动；竖直方向在洛伦兹力分力f_y和重力共同作用下做初速度为零、加速度大小为a_y匀加速运动．
竖直方向由运动学公式：v_y²=2a_yy
水平方向做匀速运动，由平衡条件：F′_N=qv_yB₁
联立以上可得：F′_N=2.4×10^-4N
由牛顿第三定律知：小球离开管口时F′_N=2.4×10^-4N，故此时y_m=1.0m，图象如图所示．
在小球在离开管口前洛伦兹力不做功，根据动能定理
W-mgy_m=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}$
小球离开管口时速度v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$2\sqrt{2}$m/s
解得：W=2.4×10^-4J         
（3）小球离开管口进入复合场，其中qE=2×10^-4N，mg=2×10^-4N．故电场力与重力平衡，小球在复合场中做匀速圆周运动．合速度v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$2\sqrt{2}$m/s，与MN成θ，其中tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=1，即 θ=45°．
设轨道半径为R，则qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得R=$\sqrt{2}$m
小球离开管口开始计时，到再次经过MN所通过的水平距离${x_1}=\sqrt{2}R=2$m
对应时间$t=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{{2q{B_2}}}=\frac{π}{4}$=$\frac{3}{4}$s
小车运动距离为x₂=vt=1.5m
所以△x=x₁-x₂=0.5m．
答：（1）小球刚进入磁场B₁时的加速度大小2.0m/s²
（2）管壁弹力对小球做的功为2.4×10^-4J；
（3）小球离开管后再次经过水平面MN时距管口的距离△x为0.5m．

点评 本题考查了带电粒子在复合场中的运动，对复合场的理解和运动过程的分析是解决此类问题的关键．关键是画出运动轨迹．