Question

8．如图甲所示，小轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场在半径为R的圆形区域加有与xOy平面垂直的匀强磁场，在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置．它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速为v₀的带电粒子，已知重力加速度大小为g．
（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动．求电场强度和磁感应强度的大小和方向．
（2）调节坐标原点处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v₀沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示．现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）根据带电微粒所受重力与电场力平衡求出电场强度的大小与方向；由几何关系确定粒子做圆周运动的半径，然后根据半径公式求出磁感应强度；
（2）为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x轴正方向运动．由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场，结合数学知识求出符合条件的磁场区域的圆方程，最后求出最小面积．

解答 解：（1）带电粒子从坐标原点O处沿y轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x轴正方向运动，
则带电微粒所受重力与电场力平衡．设电场强度大小为E，由平衡条件得：mg=qE，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，电场方向沿y轴正方向；
带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R．
设匀强磁场的磁感应强度大小为B．由牛顿第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，磁场方向垂直于纸面向外．
（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x轴承夹角θ，
则θ满足0≤θ＜$\frac{π}{2}$，由于带电微粒最终将沿x轴正方向运动，
故B应垂直于xoy平面向外，带电微粒在磁场内做半径为$\frac{m{v}_{0}}{qB}$匀速圆周运动．
由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，
它们所对应的运动的轨迹如图所示

为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x轴正方向运动．
由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场．
这样磁场边界上P点的坐标P（x，y）应满足方程：
x=Rsinθ，
y=R（1-cosθ），
所以磁场边界的方程为：
x²+（y-R）²+R²
由题中0≤θ＜$\frac{π}{2}$的条件可知
以θ→$\frac{π}{2}$的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹
（x-R）²+y²=R²
即为所求磁场的另一侧的边界．
因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆
x²+（y-R）²=R²与圆（x-R）²+y²=R²的
交集部分（图中阴影部分）．
由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：
S_min=（$\frac{π}{2}$-1）$\frac{{m}^{2}{v}_{0}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}$=（$\frac{π}{2}$-1）R²．
答：（1）电场强度的大小为$\frac{mg}{q}$方向沿y轴正方向；磁感应强度的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，方向垂直纸面向外．
（2）匀强磁场的分布区域如图所示，求出符合条件的磁场区域的最小面积为（$\frac{π}{2}$-1）R²．

点评 本题的关键与难点是由数学知识求满足条件的磁场区域与最小面积，平时要注重数学方法在物理中的应用，该题型常常作为压轴题出现．