Question

17．如图甲所示，ABCD是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中AB=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$L，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子以速度v₀在t=0时从A点沿AB方向垂直磁场射入，粒子重力不计．

（1）若粒子经时间t=$\frac{3}{2}$T₀恰好垂直打在CD上，求磁场的磁感应强度B₀和运动中的加速度a大小．
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，求磁场的磁感应强度B₀及变化的周期T₀．

Answer 1

分析 （1）若粒子经时间t=$\frac{3}{2}$T₀恰好垂直打在CD上，粒子的轨迹必定为3个四分之一圆周，有几何关系定出半径，由洛伦兹力提供向心力，求得磁感应强度B₀和运动中的加速度a大小；
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，粒子运动的时间必定为磁感应强度变化的周期的整数倍，根据运动轨迹，结合几何关系求得半径大小，得出磁感应强度B₀及变化的周期T₀．

解答 解：（1）若粒子经时间t=$\frac{3}{2}$T₀恰好垂直打在CD上，粒子的轨迹必定为3个四分之一圆周，如图，
由几何关系得，运动半径为r=$\frac{L}{3}$①
由洛伦兹力提供向心力得，${B}_{0}{qv}_{0}=\frac{{mv}_{0}^{2}}{r}$②
联立可得，${B}_{0}=\frac{{3mv}_{0}}{qL}$③
运动中的加速度为：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$④
由①②③④得，B=$\frac{{3mv}_{0}}{qL}$，a=$\frac{{3v}_{0}^{2}}{L}$
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，粒子运动的时间必定为磁感应强度变化的周期的整数倍，根据运动的对称性可得，轨道半径r$′=\frac{L}{{2}^{n}}$   n=0、1、2、3、⑤
由由洛伦兹力提供向心力得，${B}_{0}{qv}_{0}=\frac{{mv}_{0}^{2}}{r′}$⑥
由⑤⑥得，${B}_{0}=\frac{{{2}^{n}mv}_{0}^{2}}{{qv}_{0}L}$   n=0、1、2、3、⑦
粒子圆周运动周期为：T=$\frac{2πr′}{{v}_{0}}$⑧
磁感应强度变化的周期：T₀=T⑨
由⑤⑧⑨得，T₀=$\frac{πL}{{{2}^{n-1}v}_{0}}$   n=0、1、2、3、
答：（1）磁场的磁感应强度为$\frac{{3mv}_{0}}{qL}$，运动中的加速度大小为$\frac{{3v}_{0}^{2}}{L}$．
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，磁场的磁感应强度为$\frac{{{2}^{n}mv}_{0}^{2}}{{qv}_{0}L}$，变化的周期为$\frac{πL}{{{2}^{n-1}v}_{0}}$其中n=0、1、2、3、．

点评 带电粒子在复合场中的运动，重点就是运动分析，要着重掌握圆周运动的规律，还有相应的数学知识，做到能准确找出原点，明确运动的轨迹