Question

15．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限中，OM是角平分线，OM与+x轴之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，OM与+x轴之间存在竖直向下的匀强电场．质量为m、电量为q的正点电荷从x轴上的点竖直向上进入磁场，OA=L，不计点电荷的重力．
（1）要使点电荷在磁场中运动的时间最长，求点电荷的速度范围；
（2）要使点电荷垂直于电场线的方向进入电场且过原点O，求电场强度的大小及离开电场时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，在粒子速度很小时，粒子可以从X轴垂直射出，当速度逐渐增大时，粒子的运动半径也随着增大，当其轨迹与OM相切时，速度达到最大，根据几何知识求出最大圆周的半径，再根据牛顿第二定律求出临界速度；
（2）根据题意垂直进入电场，可以求出圆周运动半径，然后根据牛顿第二定律求出入射速度，在电场中粒子做类平抛运动且过原点，根据平抛公式求出加速度大小，再求出电场强度．从刚进入电场到从O点射出电场，根据动能定理求出离开电场时的速度大小．

解答 解：（1）点电荷的速度较小时，将在磁场中运动半个周期，当其轨迹与OM相切时速度最大，此时有：
$r+\sqrt{2}r=L$
根据牛顿第二定律有：
$q{Bv}_{m}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$
得${v}_{m}=\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$
点电荷的速度在0～${v}_{m}=\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$时，时间都最长．
（2）要使点电荷垂直于电场线进入电场，在磁场中运动时的半径应为${r}_{1}=\frac{L}{2}$
根据牛顿第二定律有：
$qBv=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
又在电场中做类平抛运动，
r₁=vt，${r}_{1}=\frac{1}{2}{at}^{2}$，$a=\frac{qE}{m}$
联立求得$E=\frac{qL{B}^{2}}{m}$
根据动能定理可得：
$qE{r}_{1}=\frac{1}{2}{{mv}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得${v}_{1}=\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$
答：（1）点电荷的速度范围为0～${v}_{m}=\frac{（\sqrt{2}-1）qBL}{m}$；
（2）电场强度为$E=\frac{qL{B}^{2}}{m}$，离开电场时的速度大小为${v}_{1}=\frac{\sqrt{5}qBL}{2m}$．

点评 此题是一道典型带电粒子在电场和磁场中运动的练习题，粒子在磁场和电场中各运动一段，作此类问题，通过在纸上画出粒子的运动轨迹，需要我们在题中找到临界条件解题，这样让我们解题更容易．