Question

17．如图所示，区域Ⅰ、Ⅱ内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度分别为B₁=B，B₂=0.5B．区域宽度分别为d、2d．一带正电的粒子（重力不计）从左边界上的A点垂直边界射入区域Ⅰ中，粒子的质量为m，带电量为q．
（1）若粒子不能进入区域Ⅱ，求粒子的速度满足的条件及此种情况下粒子在区域Ⅰ中运动的时间．
（2）若粒子刚好能射出区域Ⅱ，求粒子的速度大小．

Answer 1

分析 （1）找到粒子不能进入区域II的临界几何条件，洛伦兹力提供向心力与几何关系结合即可；
（2）画出运动过程图，找到粒子恰好能射出区域II的临界几何条件，再与洛伦兹力提供向心力结合即可．

解答 解：（1）粒子不能进入II的临界条件为粒子轨迹恰好与I、II两区域的边界相切，如图一所示
根据洛伦兹力提供向心力有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ①
粒子不能进入II区域，几何关系应满足：R≤d ②
联立①②结合已知条件得：v≤$\frac{qBd}{m}$
粒子运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$③
联立①③得：T=$\frac{2πm}{qB}$ ④
粒子运动的时间：t=$\frac{θ}{2π}$T ⑤
根据对称关系可知粒子垂直入射区域I，垂直穿出区域I，所以θ=π ⑥
由④⑤⑥式联立得t=$\frac{πm}{qB}$
（2）画出粒子运动过程图，如图二所示，设粒子在区域I、II中轨迹圆的半径分别为R₁、R₂，圆心分别为O₁、O₂，粒子在两个区域的轨迹恰好在C点相切，又因为粒子恰好射出区域II，所以粒子在区域II中运动的轨迹与区域II的右边界相切于D点，此时粒子恰好在D点射出区域II．
根据洛伦兹力提供向心力，在区域I中有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$ ⑦
根据洛伦兹力提供向心力，在区域II中有：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$ ⑧
⑦⑧式子结合已知条件B₁=B，B₂=0.5B，可得：R₂=2R₁
根据几何关系有：△O₁EC与△O₁FO₂全等
可得：O₂F=EC=d
所以：R₂=O₂D=O₂F+FD=4d ⑨
⑧⑨式联立得：v=$\frac{2qBd}{m}$
答：（1）若粒子不能进入区域Ⅱ，粒子的速度v应满足v≤$\frac{qBd}{m}$，粒子在区域Ⅰ中运动的时间为$\frac{πm}{qB}$．
       （2）若粒子刚好能射出区域Ⅱ，求粒子的速度大小为$\frac{2qBd}{m}$．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，解决这类问题的思路是固定的，同学们要牢记：即洛伦兹力提供向心力与几何关系结合；解决第二问的关键在于规范作图，分析好两轨迹在C点的速度衔接关系，两轨迹圆恰好在C点内切．