Question

5．如图所示，一长木板在水平地面上向右运动，某时刻将一相对于地面静止的物块（可视为质点）轻放到木板的右端．物块和木板的质量相等，物块与木板的上表面之间有恒定的动摩擦因数，长木板与地面之间也有恒定的动摩擦因数，且物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．已知物块放到木板上时木板的速度v₀=5.0m/s，物块放在木板上先做匀加速运动，经t₁=0.50s速度达到v₁=1.0m/s时开始做匀减速运动，最终物块停在木板上的中点位置．取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）木板与地面间的动摩擦因数；
（2）木板的长度．

Answer 1

分析 （1）先根据加速度公式求出物块放在木板上后先做加速运动的加速度，然后根据牛顿第二定律求出物块与木板间的动摩擦因数，
由题意可知物块所受摩擦力的方向变化，即为物块与木板的速度大小相等的时刻，进而求出木板的加速度，然后根据牛顿第二定律求出木板与地面间的动摩擦因数；
（2）根据匀变速直线运动公式和牛顿第二定律求出物块、木板匀加速和匀减速运动的位移，进而得出物块和木板的总位移，根据二者位移的关系求出木板的长度．

解答 解：（1）物块放在木板上后先做加速运动，其加速度：
a₁=$\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{1.0}{0.50}$m/s²=2m/s²，
设物块与木板间的动摩擦因数为μ₁，对物块，根据牛顿第二定律有，
f₁=μ₁mg=ma₁，
解得：μ₁=0.20，
在t₁=0.50s时，物块将由加速变为减速，表明其所受摩擦力的方向变化，即物块与木板间的相对运动方向发生变化，因此t₁=0.50时物块与木板的速度大小相等．
因此在t₁=0.50s时间内，木板的加速度：
a₂=$\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{5-1}{0.50}$m/s²=8.0m/s²，
设木板与地面间的动摩擦因数为μ₂，
对于木板在t₁=0.50时间内，根据牛顿第二定律有：
μ₁mg+μ₂2mg=ma₂，
解得：μ₂=0.30．
（2）物块在t₁=0.50s时间内的位移：
x₁₁=$\frac{{v}_{1}{t}_{1}}{2}$=$\frac{1.0×0.50}{2}$m=0.25m，
t₁=0.50s后做减速运动的加速度：
a₁′=μ₁g=2.0m/s²，
物块减速运动的位移：
x₁₂═$\frac{{v}_{1}{t}_{1}}{2}$=$\frac{1.0×0.50}{2}$m=0.25m，
设在t₁=0.50s后木板做减速运动的加速度a₂′，
根据牛顿第二定律有
μ₂2mg-μ₁mg=ma₂′
解得：a₂′=4m/s²，
由于 a₂′＞a₁′，所以一定是木板的速度先减为0．
在整个运动过程中，物块向右的位移
x₁=x₁₁+x₁₂=0.50m，
木板在t₁=0.50s时间内的位移
x₂₁=$\overline v$t₁=$\frac{{{v_0}+{v_1}}}{2}{t_1}$=1.5m，
在t₁=0.50s后的减速运动到静止所过程的位移
x₂₂=$\frac{v_1^2}{2a'}$=0.125m，
在整个运动过程中，木板向右的位移
x₂=x₂₁+x₂₂=1.625m，
设木板长度为L，
依题意应有：$\frac{1}{2}$L=x₂-x₁=1.125m，
解得：L=2.25m．
答：（1）木板与地面间的动摩擦因数为0.30；
（2）木板的长度为2.25m．

点评 解决本题的关键理清物块和木板在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，本题分析两个物体的运动规律是关键．