Question

12．如图所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度E=1.0×10³V/m，方向未知，磁感应强度B=1.0T，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B′（图中未画出）．一质量m=1×10^-14kg、电荷量q=1×10^-10C的带正电粒子以某一速度v沿与x轴负方向成60°角的方向从A点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从B点进入磁场B′区域．一段时间后，粒子经过x轴上的C点并与x轴负方向成60°角飞出．已知A点坐标为（10，0），C点坐标为（-30，0），不计粒子重力．
（1）判断匀强电场E的方向并求出粒子的速度v；
（2）画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B′；
（3）求第二象限磁场B′区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子在第四象限内做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，由平衡条件可以求出粒子速度；
（2）粒子在第一象限中受到洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据几何知识画出粒子在第一象限的运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径．由牛顿第二定律即可求得磁感应强度B₂的大小；
（3）画出磁场B₂最小区域，由几何知识求得边长，即可求出最小的面积．

解答 解（1）粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，
所以粒子必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，
电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与x轴正向成30°角斜向右上方．
由平衡条件有：Eq=Bqv
得：v=$\frac{E}{B}$=$\frac{1.0×103}{1.0}$ m/s=1×10³m/s；
（2）粒子从B点进入第二象限的磁场B′中，轨迹如图所示，
粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知：R=$\frac{10}{cos30°}$ cm=$\frac{20}{\sqrt{3}}$cm，
由qvB′=m$\frac{v2}{R}$，
解得：B′=$\frac{mv2}{qvR}$=$\frac{mv}{qR}$，
代入数据解得：B′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$T．
（3）由图可知，B、D点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点，
磁场B′的最小区域应该分布在以BD为直径的圆内．由几何关系得BD=20 cm，
即磁场圆的最小半径r=10 cm，所以，所求磁场的最小面积为：S=πr²，
代入数据解得：S=3.14×10^-2m²
答：（1）匀强电场E的方向：与x轴正向成30°角斜向右上方，粒子的速度v为1×10³m/s；
（2）粒子在第二象限的运动轨迹如图所示，磁感应强度B′为$\frac{\sqrt{3}}{2}$T；
（3）第二象限磁场B′区域的最小面积为3.14×10^-2m²．

点评 当带电粒子在电场与磁场中做直线运动时，由于洛伦兹力由速度决定，所以粒子必做匀速直线运动．当粒子进入磁场时，仅受洛伦兹力做匀速圆周运动，由几何关系可确定磁感应强度．