Question

3．如图所示的水平轨道中，AC段中点B的正上方有一探测器，C处有一固定竖直挡板，物体P₁沿轨道向右以速度v₀与静止在A点的物体P₂碰撞，结合成复合体P．以刚结合成复合体P后开始计时，探测器只在t₁=2s至t₂=4s内工作．已知P₁、P₂的质量都为m=lkg，P与AC间的动摩擦因数为μ=0.1，AB与BC段长均为L=4m．（P₁、P₂和P均可视为质点，P与挡板的碰撞为弹性碰撞．）求：
（1）若v₀=6m/s，求P₁、P₂碰后瞬间P的速度大小v和碰撞前后系统损失的动能△E_k；
（2）若P与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B点，求v₀的取值范 围；
（3）若P₁和P₂结合成复合体P后，不能被探测器在工作时间内探测到，求v₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）P₁、P₂碰撞过程，系统动量守恒，列出等式求解P₁、P₂碰后瞬间的速度大小，根据能量守恒求得碰撞损失的动能．
（2）（3）由于P与挡板的碰撞为弹性碰撞，所以P在AC间等效为匀减速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求解．．

解答 解：（1）P₁、P₂碰撞过程，动量守恒，选取向右为正方向，设碰撞后共同速度为v，则：mv₀=2mv…①
解得v=$\frac{1}{2}{v}_{0}$…②
代入数据可得：v=3m/s
碰撞损失的动能△E=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$（2m）v²…③
解得△E=9J…④
（2）由于P与挡板的碰撞为弹性碰撞．故P在AC间等效为匀减速运动，设P在AC段加速度大小为a，由运动学规律，得：μ（2m）g=2ma
a=μg=0.1×10m/s²=1m/s²…⑤
P返回经过B时：3L=vt-$\frac{1}{2}$at²…⑥
由①⑤⑥解得：v=$\frac{{t}^{2}+24}{2t}$
由于2s≤t≤4s，所以解得v的取值范围5m/s≤v≤7m/s 
结合公式②可知，若P与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B点，v₀的取值范 围是10m/s≤v₁≤14m/s．
（3）结合（2）的分析可知，若碰撞后的速度比较大，则P₁和P₂结合成复合体P后，不能被探测器在工作时间内探测到，v₀的取值范围应满足：
v₀＜5m/s或v₀＞7m/s
考虑到P有可能在向右运动经过B点时被探测器探测到．
Ⅰ．设P恰好能到达B点，则：2aL=v²…⑦
所以：$v=2\sqrt{2}$m/s
则到达B的时间：$t′=\frac{△v}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{1}=2\sqrt{2}$s，由于2s＜2$\sqrt{2}$s＜4s，结合运动的越快，相等时间内的位移越大可知，若P的速度小于$2\sqrt{2}$m/s，探测器不可能探测到P；
结合公式②可知，此时v₀$＜4\sqrt{2}$m/s
Ⅱ．结合运动的越快，相等时间内的位移越大可知，当P向右在t=2s时刻通过探测器时：$\overline{v}=\frac{L}{t}=\frac{4}{2}=2$m/s…⑧
又：$\overline{v}=\frac{v+（v-at）}{2}$…⑨
所以得：v=3m/s
可知如果P的速度v＞3m/s，则P在2s前通过B点，探测器也不能探测到P，此时结合公式②可知：v₀＞6m/s．
综上可知，若复合体P，不能被探测器在工作时间内探测到，v₀的取值范围：v₀$＜4\sqrt{2}$m/s或6m/s＜v₀＜10m/s或v₀＞14m/s
答：（1）若v₀=6m/s，P₁、P₂碰后瞬间的速度大小是3m/s，碰撞损失的动能是9J；
（2）若P与挡板碰后，能在探测器的工作时间内通过B点，v₀的取值范围10m/s≤v₀≤14m/s；
（3）若复合体P，不能被探测器在工作时间内探测到，v₀的取值范围：v₀$＜4\sqrt{2}$m/s或  6m/s＜v₀＜10m/s或v₀＞14m/s．

点评 本题关键是明确P₁、P₂碰后的受力情况和运动情况，运用动量守恒定律结合能量守恒列出等式求解，掌握牛顿第二定律分析问题．其次还要注意第三问的几种可能性．