题目内容

18．如图所示，在竖直平面内，两个$\frac{1}{4}$圆弧与直轨道组合成光滑绝缘轨道，在高度h=2R以下存在E=$\frac{mg}{q}$、方向水平向右的匀强电场，其它几何尺寸如图所示，一带电量为q、质量为m的带正电的小球从A处以初速度v0向右运动．
（1）若小球始终沿轨道内侧运动而不脱离，则v0的大小应满足什么条件？
（2）在v0取（1）中的临界值时，求轨道对小球的最大弹力；
（3）若小球运动到最高点B时对轨道的压力等于mg，试求小球从B点落回水平轨道过程中电场力所做的功．

分析 小球整个运动只能束缚在轨道内运动而不脱离，末速度可以为零，根据功能关系列方程 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+qE2R-mg3R≤0$化简即可．
将重力和电场力合成后当作一种全新的场力，找到等效场的最低点，最低处小球对轨道的弹力最大，根据动能定理$qE•（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R-mg•（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$化简计算出等效场的最低点处的速度，再根据合力提供向心力，计算压力．
根据合力提供向心力解出小球通过B点的速度，经过B点后，小球在竖直方向上做自由落体运动，小球从B点落到电场上方水平方向上向左做匀速直线运动，小球进入电场中，在水平方向上，受到水平向右电场力，水平向左做匀减速运动．根据竖直方向的运动计算时间，在水平方向上分段计算位移．根据qEx可求电场力做功情况

解答 解：（1）若刚好不脱离轨道，则：qE•2R-mg•4R=$\frac{1}{2}m（\sqrt{gR}）^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$，所以应有：${v}_{0}≤\sqrt{2gR}$
（2）重力与电场力的合力F=$\sqrt{2}mg$，方向与水平方向成450角斜向下
所以在下边1/4圆弧中点（设为C）处弹力最大，则：$qE•（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）R-mg•（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
N-F=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$ （或N-qEcos45°-mgsin45°=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$  ）
解得：$N=（2+3\sqrt{2}）mg$
（3）在最高点B，mg+${N}_{B}=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
 解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
从B进入电场的时间：${t}_{1}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$
从B到达水平轨道的时间：${t}_{2}=\sqrt{\frac{8R}{g}}$
所以，在复合场中的运动时间：$△t={t}_{2}-{t}_{1}=2（\sqrt{2}-1）\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平方向：${a}_{x}=\frac{qE}{m}=g$
$△x={v}_{B}•△t-\frac{1}{2}{a}_{x}（△t）^{2}=2（\sqrt{2}-1）R$，方向向左；
B点到落回水平轨道过程电场力做功：$W=-qE•△x=-2（\sqrt{2}-1）mgR$
答：（1）若小球整个运动只能束缚在轨道内运动而不脱离，则小球v0应满足${v}_{0}≤\sqrt{2gR}$；
（2）v0为最大值时，则小球对轨道的最大弹力为$（2+3\sqrt{2}）mg$
（3）小球从B点落回水平轨道过程中电场力所做的功为$2（\sqrt{2}-1）mgR$．

点评 本题要能将重力和电场力合成后当作一种全新的场力，找到等效场的最低点，根据动能定理和牛顿第二定律灵活列式求解．

练习册系列答案
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8．关于加速度与速度的关系，下列说法正确的是（　　）
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15．为测定一段金属丝的电阻率ρ，某同学设计了如图甲所示的电路．ab是一段电阻率较大的粗细均匀的电阻丝，电路中的保护电阻R0=4.0Ω电源的电动势E=3.0V，电流表内阻忽略不计，滑片P与电阻丝始终接触良好．

（1）实验中用螺旋测微器测得电阻丝的直径如图乙所示，其示数为d=0.400mm．
（2）实验时闭合开关，调节滑片P的位置，分别测量出每次实验中aP长度x及对应的电流值I，实验数据如下表所示：
 x（m） 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
 I（A） 0.49 0.43 0.38 0.33 0.31 0.38
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①表中数据描在$\frac{l}{I}$-x坐标纸中，如图丙所示．试作出其关系图线，图象中直线的斜率的表达式k=$\frac{4ρ}{Eπ{d}^{2}}$（用题中字母表示），由图线求得电阻丝的电阻率ρ2为1.1×10-4Ω•m（保留两位有效数字）．
②根据图丙中$\frac{l}{I}$-x关系图线纵轴截距的物理意义，可求得电源的内阻为1.4Ω（保留两位有效数字）．

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