Question

19．某星球的质量为M，在该星球表面某一倾角为α的山坡上以初速度V₀平抛一个物体，经t时间该物体落到山坡上．欲使该物体不再落回该星球的表面，至少应以$\root{4}{\frac{2G{Mv}_{0}tanθ}{t}}$的速度抛出物体．（不计一切阻力，万有引力常量为G）

Answer 1

分析 根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式，结合几何关系求出重力加速度．
忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．
若要使物体不再落后星球，应使物体绕着星球表面做匀速圆周运动，由万有引力定律充当向心力可求得抛出速度

解答 解：由题意可知是要求该星球上的“近地卫星”的绕行速度，也即为第一宇宙速度．
设该星球表面处的重力加速度为g，
由平抛运动可得 tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{gt}{{2v}_{0}}$      ①
故g=$\frac{{2v}_{0}tanθ}{t}$                 
对于该星球表面上的物体有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg  ②
所以R=$\sqrt{\frac{GMt}{{2v}_{0}tanθ}}$        
而对于绕该星球做匀速圆周运动的“近地卫星”应有mg=$\frac{{mv}^{2}}{R}$     ③
由 ①②③式得 v=$\sqrt{gR}$=$\root{4}{\frac{2G{Mv}_{0}tanθ}{t}}$      
故答案为：$\root{4}{\frac{2G{Mv}_{0}tanθ}{t}}$

点评 处理平抛运动的思路就是分解．
重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．