Question

10．在竖直的平面内有一光滑的轨道如图所示，水平轨道足够长且与半圆形轨道PQ和曲线轨道MN相切于P点和N点，半圆形轨道的半径为R₀，一质量为m的小球从MN的轨道上A点由静止滑下，已知小球通过半圆形轨道最高点Q时对轨道的压力大小mg，重力加速度为g，试分析；
（1）A点距水平轨道的高度h为多大？
（2）若半圆形轨道的半径可以改变，小球仍从A点由静止滑下，求半圆形轨道半径为多大时，小球恰能通过Q点？
（3）若半圆形轨道的半径可以改变，小球仍从A点由静止滑下，小球从Q点飞出落在水平轨道上B点，求半圆形轨道半径为多大时，BP之间距离最大？并求出此时PB的距离．

Answer 1

分析 （1）小球在Q点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球通过Q点时的速度．由A到Q的过程，根据机械能守恒定律求出A点距水平轨道的高度h．
（2）小球恰能通过Q点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球通过Q点时的速度．再对小球由A到Q的过程，根据机械能守恒定律列式，可求半圆形轨道半径．
（3）根据平抛运动的规律和机械能守恒定律结合得到BP之间距离与轨道半径的关系，运用数学知识求解．

解答 解：（1）小球在Q点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg+F_N=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{0}}$
据题有：F_N=mg
由A到Q的过程，根据机械能守恒定律得：
mg（h-2R₀）=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
联立解得：h=3R₀
（2）小球恰能通过Q点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{Q}^{′2}}{{R}_{0}}$
由A到Q的过程，根据机械能守恒定律得：
mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{′2}$
联立解得半圆形轨道半径为：R=$\frac{5}{4}$R₀
（3）设半圆形轨道半径为r．通过Q的速度为v，BP=x．
由A到Q的过程，根据机械能守恒定律得：
mg（3R₀-2r）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
小球离开Q点后做平抛运动，则有：
2r=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=vt
联立解得：x=$\sqrt{2×2r（3{R}_{0}-2r）}$
根据数学知识知：当2r=3R₀-2r，即 r=0.75R₀时，x有最大值，且x的最大值为：
x_max=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R₀．
答：（1）A点距水平轨道的高度h为3R₀．
（2）半圆形轨道半径为$\frac{5}{4}$R₀时，小球恰能通过Q点．
（3）半圆形轨道半径为0.75R₀时，BP之间距离最大，此时PB的距离是$\frac{3\sqrt{3}}{2}$R₀．

点评 本题综合运用了机械能守恒定律和临界条件，解决本题的关键灵活选取研究的过程，明确临界条件，选用适当的规律进行求解．