Question

1．如图所示，物体A、B、C的质量均为1kg，其中B、C分别与轻质弹簧的两端连接在一起，将它们静置在地面上，现让A从B正上方5m高处又静止下落，A与B相碰，碰撞时间极短．相碰后两者立即粘在一起向下运动，以后不再分开．当A与B运动到最高点时，弹簧刚好恢复到原长，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，弹簧劲度系数k=6N/m，重力加速度取10m/s²．
（1）求A与B相碰后一起向下运动的最大位移；
（2）若A与B运动到最高点时，C对地面刚好无压力，则A应从距B多高处释放？
（3）若A从第（2）问的高度由静止释放，A与B相碰后一起向下运动，但不粘连．求A与B相碰后第一次运动到的最高点与释放点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）由共点力的平衡求出弹簧的伸长量，结合运动的状态求出速度最大时的伸长量，然后结合简谐运动的特点，即可求出最大位移．
（2）由机械能守恒定律求出A与B碰前的速度，然后由动量守恒定律求出碰后的共同速度，然后分别对两个过程使用动量守恒定律与机械能守恒即可解答．
（3）在不粘连的情况下，由分离的条件，先计算出分离时的速度，然后又机械能守恒求出分离后A上升的高度，最后即可求出结果．

解答 解：（1）A与B碰撞前弹簧的压缩量△x₁，则：$△{x}_{1}=\frac{mg}{k}$=$\frac{1×10}{6}=\frac{5}{3}$m
碰撞后A与B一起向下运动，随弹力的增大，二者向下的加速度减小，当弹簧的弹力与重力大小相等时，速度达到最大，此时：
2mg=k△x₂
得：$△{x}_{2}=\frac{2mg}{k}=\frac{2×1×10}{6}=\frac{10}{3}$m
由于A与B在弹簧上做简谐运动，所以可知该简谐运动的振幅：A=△x₂=$\frac{10}{3}$m
A与B碰撞后向下的最大位移：$x=2A-△{x}_{1}=2×\frac{10}{3}-\frac{5}{3}=5$m
（2）设物体A碰前速度为v₁，对物体A从H₀高度处自由下落，
由机械能守恒定律得：MgH₀=$\frac{1}{2}$Mv₁²，解得：v₁=$\sqrt{2g{H}_{0}}$．
设A、B碰撞后共同速度为v₂，则由动量守恒定律得：
Mv₁=2Mv₂，v₂=$\sqrt{\frac{g{H}_{0}}{2}}$．
A与B运动到最高点时，C对地面刚好无压力，则C受到的弹簧的拉力与C的重力大小相等，方向相反，即：F_C=mg
此时弹簧的伸长量：$△{x}_{3}=\frac{{F}_{C}}{k}=\frac{mg}{k}=△{x}_{1}$，所以此时弹簧的弹性势能与刚刚碰撞时弹簧的弹性势能是相等的；
A与B运动到最高点时上升的高度：$△h=△{x}_{1}+△{x}_{3}=2△{x}_{1}=\frac{10}{3}$m
以开始时B的位置处为重力势能的0势能点，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}+{E}_{P}+0=0+{E}_{P}+2mg•△h$
得：${v}_{2}=\sqrt{2g△h}$
所以：${H}_{0}=4△h=4×\frac{10}{3}=\frac{40}{3}$m
（3）若不粘连A与B相碰后将在向上运动的过程中二者分离，分离时，二者的速度和加速度都相等，二者之间的作用力恰好等于0，所以分离后A只受到重力的作用，加速度的大小为g．则B的加速度也是g，所以分离时，弹簧恰好处于原长的状态．
以开始时B的位置处为重力势能的0势能点，碰撞后此后A与B运动的过程中，A第一种情况下，A与B到达最高点时，弹簧的长度等于原长，则弹性势能为0，所以：
A下降的过程中机械能守恒，得：Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₁₀²，
解得：v₁₀=$\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×5}=10$m/s
设A、B碰撞后共同速度为v₂₀，则由动量守恒定律得：
Mv₁₀=2Mv₂₀，
v₂₀=$\frac{1}{2}{v}_{10}=5$m/s
$\frac{1}{2}•2m{v}_{20}^{2}+{E}_{P}+0=0+0+2mg•△{x}_{1}$，
代入数据得：${E}_{P}=\frac{25}{3}$J
第2中情况下，碰撞后此后A与B运动的过程中，A、B与弹簧组成的系统机械能守恒，当二者分离时，弹簧的长度等于原长，则弹性势能为0，设此时二者的速度为v，得：$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}+{E}_{P}+0=\frac{1}{2}•2m{v}^{2}+0+2mg•△{x}_{1}$，
代入数据整理得：$v=5\sqrt{\frac{5}{3}}$m/s
A与B分离后向上做竖直上抛运动，升高的高度：$H=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{\frac{125}{3}}{2×10}=\frac{125}{60}$m
A与B相碰后第一次运动到的最高点与释放点之间的距离：$△H={H}_{0}-H-△{x}_{1}=\frac{40}{3}-\frac{125}{60}-\frac{5}{3}=\frac{125}{12}$m
答：（1）A与B相碰后一起向下运动的最大位移是5m；
（2）若A与B运动到最高点时，C对地面刚好无压力，则A应从距B$\frac{40}{3}$m高处释放；
（3）A从第（2）问的高度由静止释放，A与B相碰后一起向下运动，但不粘连．A与B相碰后第一次运动到的最高点与释放点之间的距离是$\frac{125}{12}$m．

点评 该题涉及的运动过程比较多，一定要分析清楚物体的运动过程，应用机械能守恒定律、牛顿定律、平衡条件即可正确解题．