Question

7．“火卫一”（Phobos）呈土豆形状，围绕火星运行的周围为T，距火星中心的距离为r，它是火星两颗卫星中较大的、也是离火星较近的一颗．“火卫一”与火星间的距离也是太阳系中所有的卫星与其主星距离最短的，它也是太阳系中最小的卫星之一，已知引力常量G，将“火卫一”绕火星的轨道视为圆．求：
（1）火星的质量M．
（2）已知“火卫一”与火星表面的距离为h，求火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，化简可得火星的质量M．“火卫一”与火星表面的距离为h，则此时的轨道半径为r-h，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm′}{（{r-h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{r-h}$，代入火星的质量M，化简可得火星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）“火卫一”在火星万有引力作用下做圆周运动：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在火星表面附近，卫星在万有引力作用下做圆周运动：
$G\frac{Mm′}{（{r-h）}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{r-h}$
代入质量M，解得：v=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{r-h}}$
答：（1）火星的质量M为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）火星的第一宇宙速度为$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{r-h}}$．

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力，能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．