Question

2．如图，MNQO为有界的竖直向下的匀强电场，ACB为光滑固定的半圆形轨道，圆形轨道半径为R，AB为圆水平直径的两个端点，C为半圆轨道的最低点（在电场中）．一质量为m，电荷量为-q的带电小球从A点正上方高H处由静止释放，并从A点沿切线进入半圆轨道，不计空气阻力，重力加速度大小为g．
（1）若电场强度E₁=$\frac{mg}{q}$，求小球由释放经A到C的时间；
（2）电场强度E₂为多大时，小球恰能沿轨道运动，且到达B点时的速度为零；
（3）若电场强度E₃=$\frac{{E}_{2}}{2}$，要使小球能沿轨道到达B点，求H应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）小球从A点前是自由落体运动，根据位移公式列式求解运动时间，根据速度公式求解末速度；从A到C过程，重力和电场力平衡，小球做匀速圆周运动，可以求解时间；
（2）对从释放到B点过程运用动能定理列式求解即可；
（3）要使小球能沿轨道到达B点，临界情况是到达B点的速度为零，对从释放点到B点过程运用动能定理列式求解即可．

解答 解：（1）小球自由落体运动过程：H=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，解得：t₁=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
A点速度：v_A=gt₁=$\sqrt{2gH}$；
从A到C过程，重力等于电场力，平衡，故球做匀速圆周运动，时间：t₂=$\frac{πR}{{v}_{A}}$=$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
故从释放到C点的时间爱你为：t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$+$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
（2）对从释放到C点过程，根据动能定理，有：
mgH-qE₂R=0
解得：E₂=$\frac{mgH}{qR}$；
（3）对从释放到C点过程，根据动能定理，有：
mgH₀-q$\frac{E_2}{2}$R=0
解得：H₀=$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$；
故要使小球能沿轨道到达B点，应该满足H＞$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$；
答：（1）若电场强度E₁=$\frac{mg}{q}$，小球由释放经A到C的时间为$\sqrt{\frac{2H}{g}}$+$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
（2）电场强度E₂为$\frac{mgH}{qR}$时，小球恰能沿轨道运动，且到达B点时的速度为零；
（3）若电场强度E₃=$\frac{{E}_{2}}{2}$，要使小球能沿轨道到达B点，H应满足的条件为H＞$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$．

点评 本题关键是明确小球的受力情况和运动情况，要多次结合动能定理列式求解，不难．